CHAPITRE TR0ISIÈ3IE. I2r

c est la seule racine qui puisse convenir à noire problème, car B' étant un angle aigu, à cause de A'^B', la valeur de B fournie par la deuxième équation (6) ne peut être positive que si x est inférieur à 90 degrés. Mais on voit de plus que le problème proposé n'est possible que si la valeur de x comprise entre zéro et 90 degrés est inférieure à B', condition que nous pouvons exprimer par l'inégalité sina:<^sinB', ou, à cause de Téqualion (9j, par

sinA' <; 2 sinB\

et cette dernière inégalité équivaut elle-même à la suivante :

(c-f-û)<9.(cH- h).

Telle est la condition nécessaire pour que le problème soit I>ossible5 je dis d'ailleurs qu'elle est suffisante. En elïet, si elle ^st satisfaite, les valeurs de A et de B seront positives-, de plus, *^ur somme sera inférieure à 180 degrés 5 la valeur de c tirée ^ie Téquation (7) sera elle-même positive, et il est évident <^ue ces valeurs rendront les équations (i) identiques. Cela ;p»osé, supposons que Ton demande de résoudre un triangle 'Btvec les éléments A, B, c que nous venons de calculer; ce problème est toujours possible, et, pour le résoudre, on peut évidemment faire usage des équations (i), desquelles on tirera "^nécessairement les valeurs données c -h a, c H- i.

Remarque. — Si Ton a c-ha = c4-i, les angles cp et a: se réduisent à zéro; on a A = B = A'= B'. Dans ce cas, la for* mule (7) ne peut plus servir pour le calcul de c 5 il faut alors recourir à la première des équations (i), qui donne

, . sin^C

d*où

c~a sin|C ^\ __ tangf |C — i5**)

c-\-a " si'n-^CH-l ~" taiig(f C + i5°}'

On aura donc

, . tangue— i5»)

'^ Mang(:i-C-f-i5°/

c — a sera donné par cette formule \ on en déduira ensuite a et c-

122 TRAITÉ DE TRIGONOUÉTRIB.

Du quadrilatère iuscriptible.

97. Nous croyons devoir encore indiquer ici comment on peut calculer les angles, Taire et les diagonales d'un quadrilatère inscriptible, quand on connaît les quatre côtés.

Soit ABGD {fig* 19) un quadrilatère inscrit, dont nous re-

Fig. 19.

présenterons les côtés AB, BC, CD, DA par a, i, c, rf, les diagonales AC et BD par x et j^, Taire par 5, le rayon du cercle circonscrit par R, et les angles par les lettres qui marquent leurs sommets.

Les angles B et D étant supplémentaires, leurs cosinus sont égaux et de signes contraires *, on a, par les triangles ABC

et ACD,

^ x^ z= à^ -\- b* — nab cosB,

[x^ = c^ -i- (P -h ncd cosB, et Ton tire de ces équations, en éliminant x,

(2) cosB= ,-r -T

Cette formule n'est pas calculable par logarithmes, mais on peut en déduire une qui le soit. On a

1 I — cosB . I ^ I -h cosB

sm' - B = » cos' - B =: ;

en remplaçant cosB par sa valeur, il vient

. I fc-4-rf)* — fa — è)» (—a-+-è-hc-t-rf)(a — ô-4-c4-rf)

2 /^(ab-hcd) ^{ab-hcd)

i la^bY—fc — dY (aH-ô — c-+-rf)(a-+-ô-t-c — rf)

/»rieï ll j L L. .i Ll L •