i.i... 5 du^dy* i.i. ..ydu'dv

Pour en trouver la somme par le théorème du n"*. 1067 , il £iut observer qu'elle résulte du produit des suivantes » mulupliées terme

à terme

^i? , , , d^B Bes-^'—ri'i^s^+ - — —

dudy d u^d V*

iVi^

— etc.

La seconde est le développement de sîn - ; et si Ton différentie la première par rapport à « et à v successivement ^ en la représentant

NMi«i

(*) L'artifice employé ci- dessus ^ pour transformer l'équation proposée , qui exprime les conditions du son , lorsque Ton ne donne que deux dimensions à l'air , et celles des vibrations d*une sur£ice plane , est analogue à celui du n®. 769. . II est bon de remarquer que dans sa Mécanique analytique , Lagrange a donné

sous la forme

î=-rf+B/+ C/*+D/»+etc.

l'intégrale complète de l'équation

dx'

qui se rapporte au mouvement des fluides. Les relations des quantités A^ B^ C, D, etc. qui représentent des fonctions de x et de y , s'obtiennent facilement par U substitution de la valeur de { > et Lagrange trouve

^ ' 1 \dx* dy* J i.a VTx» *^</v» /1.2.1

dy^ / i.a \dx* ' dy

le$ fonctions ÀttB restent arbitraires f Méc. analjrt. page 474 }.

A LA Théorie dès s v i t à s. 517

par Tj on reconnoîtra qu'elle dépend de i'équatîon

dans laquelle t^stîB sont regardés comme constantes ; on en auroit donc la somme si Ton pouyoit intégrer cStte équation qui ne renferme que les trois variables T, u et v , ou du moins y satisfaire ; mais en faisant pour abréger

on verra facilement que l'expression

T=p {fdufBdy^Kpdu^f'Bdy^+K^pdu^PBdv^^ttc. } , donnant

—— =pB^p KfdufB d v+p K^fdu^pB d V»— etc.

dudv

vérifie Téquation ci-dessus.

Un calcul semblable à celui du n"*. 1 1 19 ramènera les intégrales de la forme J^di^f^Bdv'^ à ne dépendre que defdu/Bdv. En n'ayant d'abord égard qu'à r , et remplaçant B par -^(u, v) , on trouvera

r-^C u,v )dy-=. ri'^y ^^ A(u,y )dy ,

pourvu qu après l'intégration da second membre on fasse ^2= v ^ et on aura

f^du-j^^(u,v)dv^:=^f^du^ f^Z:2^^(u,y)dyi

puis en observant que l'on peut intervertir l'ordre des intégrations ^ le second membre de cette équation deviendra

f" yTdy f^(u,y)du'

^-Cx^y )dxi 1 • 2« • «172

la dernière intégrale étant prise depuis :r=so, jusquà x^=iu: on aura donc enfin

fi8 ChAII, Application DU Calcvl îNTécRAL

r r fu—x T(v — V )■"

T=pffMx,y)dxdy[i — + ^7^7^^—

— + CtCt )•

La série comprise entre les accolades se transforme en

I 1 h etc.

lorsquon y fait k x(tf — x)(v— ^)=:€t et dépend des suivantes

l + —+- + + ttC. = c

\ A* et' *

T + 1 3- + etc. = c J

on en obtiendra donc la somme , en substituant à x les expressions

cos r + K — I sînr, et cos r — Y — i sinr. Un calcul absolument semblable à celui du n**. précédent donnera pour cette somme

ou fdr cos ( 2 y><{u — x) (v— y). sin r ) ,

et Ton conclura de là que

— / ( « +« )flr=-/</rC0S(2€eSmr),

T===Wy |V^cos(2/a(«— x)(v— j.).sî^ 4 ("*,J^)^^^y ,

où il faut se rappeler que l'intégrale relative à r doit être prise depuis r=o jusqu'à r=T y tandis que celles qui se rapportent k x tly ont respectivement pour limites ji:=o et ar=w , j^=o et ^=v.

Pour achever la sommation que nous nous sommes proposée , il nous reste à remettre dans la valeur de T celles de x et de /^ , qui

sont -— -; et — — , et à combmer le résultat précédent avec Texb t s o es

pression sin-^ en mettant dans Tun et dans l'autre

cos J + *^— I sin q et cos j^ — /— i sin q , au lieu de j ( n*. 1067 ). Xes détails de ^es calculs étant assez compliqués , nous les suppri*

A LA Théorie z> e s suites. 519

serons ; et désignant par les lettres Q et Q', ce que devient après ces substîtutlons le produit des fonctions

pfd r cos ( 2 V/ h{u^x) {y— y) . sin r) et sin-^.

nous aurons

Bi+

+ etc.

^ffkf-

'dq'{{x^y)dxdy^

dudv 1.1.3

l'intégrale relative à q étant prise depuis y =0 jusqu'à f =cr. Mettant dans cette dernière expression ^{x^y^ au lieu de 4(*,y), pour y tenir la place de ^ , et difFérentiant par rapport à / , il viendra

, d^A *V -^+ 7-3 +ctc.=

dîidv 1.2

et enfin

''\JJi;^f~-'i^^-*y)'^^'y]*

^ip(x9y)dx

dy]

Il est aisé de voir que chacun des termes de ce résultat renferme implicitement quatre intégrations successives. Nous donnerons plus bas une autre manière de satisfaire , avec des int^rales définies ^ à l'équation

d^ \dii^ dy^/

II 34. Dans le Mémoire cité au n\ 1109, Laplace, aprè$ avoir obtenu des séries qui donnent les valeurs approchées des PP^cation es intégrales dans lesquelles entrent comme exposans des nombres très- j, '

grands , développe une méthode pour ramener à des intégrales définies fîntégration ^des les fonctions déterminées par des équations aux di£fërences. Voici ^/P^^ons aux djt

„ . . 2 1. -I fércnccs et difiih

lespnt de cette méthode. ftmîellei.

Soit l'équation du premier degré et d'un ordre quelconque aux différences

X=Ay,+BAy,+ CAy,+ etc (i) ,

dao$ laquelle ^, B^ C ^ etc. représentent des fonctions rationnelles

510 Ch. III. Application Dv Calcul intégral

et entières de là variable x , et peuvent être mis par conséquent sous

Tune ou l'autre de ces formes ( n*. 903 ) :

B=ib +b^X'\- *.x* + etc. B—b + b, [x] + bj^jc] + etc.

Dans le premier cas on fera y=ifr^'vdu\ on supposera que les limites de Tintégrale soient indépendantes de x^ v étant une fonction de u seul , et il en résultera

Aj^x=/«"''*'( ^■"'*— i)vdu^ A>.=/«-'*'( r«~ I yvdu , etc. Si , pour abréger , on fait «"**'= * , on aura

ddL , d^A . , d^A

et substituant dans Téquation (i) ces expressions , ûnsi que les précédentes , on obtiendra

«(tf + A(«-''-.i)+f (r''--ï)»+etc. ) 1— -JL(tf.+*,(«-»— i)+c.(«-''— i)*+eic. )|

] au

X=^fvdu\ ^.^

1+ ^^.+*.(«""'*— x)+^.(^-'*— i)*+ctc.)|

— etc.

Dans le second cas , oii fera y'=ifu'y du , «'= «; on aura par conséquent

Ay,=fA{u—i)ydu^ A*y,=/ct(if — lYvdu^ etc. * deL ^ 2: d^A

«(a + * (a— i) + e («— 1)«+ etc. ) +«-5~(«.+*,(«— i)+<.(«~i)*+ etc.)|

etc.

Ce résultat et le précédent sont compris dans la formule

A LA Théorie DES suites, 521

M y N , P f Q , etc. étant des fonctions de « seul. Comme ce n'est que dans « que se trouve la variable x , on peut la faire sortir entièrement du signe/en intégrant par parties ( n". 361 ) , et l'on aura

+ const.+ *{Nv \ — -+ \ . ' — etc. }

du du

{Pf — -i^+etc.}

du du

dû

^ — { Qv— etc. } du' *-^ '

'+ etc.

Maintenant puisque la fonction v est indépendante de « , il faut que la partie soumise au signe d'intégration dans l'équation ci-dessus, soit nulle par elle-même , ce qui fournit l'équation

d(Nv) d^(Pv) d'(Qv)

pour déterminer la fonction r ; et il restera ensuite à satisfaire à l'équation

X=zconst,+ » {Nv ^ — -+ j\ '^ — etc. }..... .(3)

d* , „ d(Qv) , ,

+-j-{i»v ^^+etc.}

au du

+ etc.

qui fera connoître les limites de l'intégrale /« vdu:

Il est à remarquer que l'équation (i) est précisément celle qni ex^ prime les conditions d'int^abilité de la fonction différentielle

,^„(3f*+ivg + i»g.+ Q^ + etc.>î

V peut donc être regardé comme le facteur qui rend intégrable riquation " ^ ^ ,

Aprmàku Vvv

522 Ch. III. Application du Calcul intégral

de l'ordre immédiatement inférieur à celui de Téquation (i) ; et il est facile de voir que l'ordre de celle-ci dépend du degré oii montent les puissances de x dans les coefficiens de la proposée (i).

Pour montrer comment on doit employer l'équation (3) , nous supposerons d'abord que l'on ait X=o ; et supprimant la constante , il faudra que ce qui reste de l'équation s'évanouisse , lorsqu'on y substitue pour u les deux valeurs relatives aux limites de Hntégrale favâu. On remplit une fois cette condition en donnant à u une valeur qui fasse évanouir en même tems les quantités

savoir : u infini lorsqu'on prend a = «"•*% et «=o quand *=»*; mais c'est au moyen des constantes arbitraires qui entrent dans l'expression de V 9 que l'on obtient la seconde limite , en déterminant ces constantes , de manière que chaque ligne de l'équation ( 3 ) s'évanouisse d'elle-même: on obtient ainsi un nombre d'équations

^(Pr).^(Qv)

Nv ; + ;-— - — etCf = O

au au^

Pv i-^^— : + etc. = o

Q — etc. = o

égal à celui des constantes. On éliminera toutes ces constantes , à l'exception d'une seule ; les valeurs deu^ tirées de l'équation finale y seront autant de limites de l'intégrale /ce v</ m: on les introduira dans les expressions des autres constantes , et on en déduira un pareil nombre de valeurs de y , que nous représenterons p ar v\ v\ v*', etc. Par ce moyen on aura successivement les expressions

y =fa v'du , y :=fttv''du , JK=/* v'Vtf + Ctc.

qui satisferont à la proposée , et comme elle tst du premier degré par rapport à la fonction j< et à ses coefiiciens différentiels , on pourra faire

y =A'fA v'du +A"fa v'du ^A^'/cl v"du + etc.

A'^ A'j A"', etc. étant des constantes arbitraires ^ et toutes les inté»

A LA Théorie des suites. 523

grales ayant pour une de leurs limites 'la valeur qui rend et et ses coefficiens difFérentiels nuls , et pour Tautre les diverses valeurs de u déterminées d'après ce qui précède.

On sent qu'il y auroit.lieu à des discussions délicates et nécessaires sur la possibilité de déterminer u^ sur le nombre et la nature de ses valeurs, circonstances desquelles dépend le succès de la méthode et la généralité des résultats ; mais on ne peut ici que les indiquer comme objet de recherches.

Lorsque A* n'est pas nul , il faut premièrement que cette fonction puisse être ramenée à la forme que prend le second membre de Téquation (3) après la substitution de l'expression complète de v , afin qu'en comparant de part et d'autre les termes semblables par rapport à x, on puisse obtenir des équations qui ne renferment que u et les constantes arbitraires introduites par l'expression de v. C'est par ces équations qu'on déterminera comme ci*dessus les limites de l'intégrale /«v^tf ; mais on ne pourra pas dans le cas actuel multiplier chacune des valeurs particulières de y par une constante arbitraire , et Laplace propose en conséquence d'ajouter à la somme de ces valeurs Texpression de j^, dans le cas oh x=o , ce qui satisfait évidemment à l'équation proposée, puisque cette partie fait •évanouir par lui-niême le second membre de l'équation (3).

Il est visible que l'esprit de cette méthode consiste à donner à l'expression de y une forme telle que l'on puisse , après la substitution dans l'équation proposée , rendre entièrement indépendante de X la partie qui demeure soumise au signe dlntégration ; elle peut s'appliquer à un système d'équations du premier degré aux différences , entre un nombre quelconque de variables , et en ramène l'intégration à celle d'un système d'équations différentielles du premier degré , mais cette dernière est le plus souvent sujette à des difficultés aussi grandes que celle du système proposé,

1135. Lorsqu'on n'a qu'une seule équation du premier degré aux différences 9 l'ordre de l'équation (i) dépendant du plus haut exposant de la variable Xj il en résulte qu'on ne peut guères résoudre généralement que celles oh cette variable ne passe pas le premier degré, et que l'on peut représenter par

y^xT:=a^

514 Ch. III. Application du Câlcvl iNriGRAL

y eiT étant des fonctions du premier degré de y^ et de ses différences. La supposition de y=^favdu , conduit alors à des résultats de la forme

My ^ — ' = o , consi. + aNv = o;

I du

le premier donne v = — r ^ y/ étant une constante arK-

traire , et le second conduit aux limites de l'intégrale. Prenons pour exemple l'équation du premier ordre

En y supposant y^'=.fifv du y ou <* = m* , on obtiendra

vn'^'so,

d'oïl l'on déduira v=^'e""*, puis l'on aura^'i^'e"^=Oi ce qui peut arriver de deux manières , i"". lorsque 21 = 0 , i*". lorsque u est infini ; on aura donc y^'=AfC'^vl'du p l'intégrale étant prise depuis tf = o jusqu'à u infini

Nous sommes retombés ici sur un des résultats du n*. x 1 10 v car l'intégrale de l'équation y,^^ — ( x + i )>'»= o , est

y,=Alx'] ( n% 972 ).

1 136. La méthode que nous venons d'exposer convient aussi aux> équations différentielles : Laplace le montre sur l'équation trèsgénérale, ,

dx dx*

+(^"+*"^)^: + etc.

La supposirion de ^,=/ot v</« , et de *=<-»*, conduit dans ce cas à

* ( tf — «'«+<i V~ af"u^+ etc. ) A-'-^-ffC^^^'^+^V-etc.) ^=°'

donne

'A LA Théorie des suites. jij

et l'intégration par parties fournit les deux équations

f / . ir . M^ 1 i/.v(*— *'w+*V— etc.)

V { tf — fl'z^+a'«*— a'V+ etc.}+ i^ ^ ^=o

r^v {b—b'u+ b'^u^-^ etc. ) = o ; la première étant de la forme

,^ d.vN Mdu Ndv+vdN

VM+— = 0, ou — r; 1 ~ = 0,

du ' N Nv

f^ Mdu

^ rudu . ^ ^ N I

NvJ—j^=J'^ ou v = ^. — ;

l'équation des limites revient à r^vNz=zo : elle est satisfaite lorsque u est infini , et par toutes les valeurs de u , qui font évanouir la fonction N, ou qui sont les racines de Téquation

b-^b'u + Vu^'-^ etc. = o ;

ces valeurs étant désignées par m\ m'\ etc. on aura

y =A'fitvdu+jiY^ydu+jyAvdu+ etc.

en observant de prendre la première intégrale , depuis u=zn/, )usqu à u infini , la seconde » depuis z^ = /ti^^ jusqu'à u infini , et ainsi de suite.

II 37. Si Ton représente par

Sx+Ty + F=zOy

une équation dans laquelle S^ T ^ V^ soient des fonctions du premier degré par rapport à {, , , et à ses différences partielles ^ ou à ses différentielles partielles, et qu'on y {a&%t i^^y=»ffvSfvdt ^ on obtiendra un résultat de la forme

/rWvrfr {M + JV« + Py } =0,

M, N , P ^ ne contenant que les variables e et u. Pour lui donner

la forme fvdil M'a + -^' ^ j > il faut regarder « et v comme des fonctions de t, et observer que

çitf Ch. III. Application DU Calcul iifTÈGRAL

X P Y X y ii ii

faisant alors /'tt^=«,, et posant "+T7" = — I T »

P du du Pdt

c'est-à-dire, -—=—-, d'où il suit — =— — , on aura

Ht udt u Ht

fydtX Mft'\' ^^t\ — ^*

En intégrant par parties , on obtiendra

L'expression de v , tirée de la première de ces équations ^ ne contenant point de fonction arbitraire , ne donnera qu^une valeur particulière de la fonction [ ; mais on peut y introduire une fonction ar*bitraire de la constante que doit renfermer l'expression de u tirée de

du Pdt l'équation différentielle — =-77-' % et pour cela il faudra , en dé-

^ u Nt . ■

signant cette constante par «, supposer ['=:fft'i^v^{»)ded€f. n est facile de s'assurer que cette formule satisfera aussi à l'équation proposée ; les limites de l'intégration relative à » n'étant assujetties qu'à la seule condition d'être indépendantes des variables x et y. Celles de l'intégration relative à t doivent se déduir.e de l'équation Ntvtt = o y et chacune des valeurs de r en 2^ donnera pour l'expressioo de { un terme dans lequel on pourra mettre une fonction arbitraire distincte de celles qui entrent dans les autres.

1138. Ces recherches présentent un moyen trèsi^simple et très^ remarquable de satisfaire aux équations différentielles partielles à coefficiens constans ; il suffit pour cela , si la fonction [ ne dépend que de deux variables , de prendre [=^fn'pf9{p) dp ^ 9{p) désignant une fonction arbitraire. En effet , on a

•i- =fn'py\ n^{p)dp, ^ =fn'py\p p (pj dp , '

Â LA Théorie des suites. 527

en substituant ces valeurs dans Téquatlon

dx* dxdy dy^ dx dy

elle deviendra

et sera satisfaite si

A{\ny'\'B{\n){\p)^C{\py+E\nJ^F\p + G=p.

On tirera généralement de celle*ci deux valeurs del/z;'si on les désigne par \P et \f', on aura

{=/PY9{p)dp+fF'pT^{p)dpi

les limites de p doivent être indépendantes de x et dé ^ , mais sont d*ailleurs arbitraires.

Il est visible que le même procédé peut s'appliquer à toutes les équations du premier degré de quelqu'ordre qu'elles soient ; pourvu qu'elles n'ayent point de terme indépendant de {, ou de ses coefEciens différentiels. Une modification facile à trouver , suffit pour le rendre applicable aux équations du même genre qui contiennent plus de trois variables ; nous prendrons pour exemple l'équation

et nous y satisferons au moyen de l'expression

l^=:ffm'n'pyf {n^p)dndp ^ qui donne

^=ffm^n'p^(,\my^{n,p)dndp

.^ =-ff'n'n'K l/')'* («,/') dndp , et conduit par conséquent à

Nous déteroûnerons m en posant

5 18 Ch. IIL Application du Calcul intégral

d'où il suit

et nous conclurons de là

Ces solutions beaucoup plus faciles à obtenir que celle du n*. 1x3} i paroissent aussi plus simples à beaucoup d'égards : ce seroit une chose importante que de discuter leur généralité comparativement à celle des autres , et même à celle des intégrales exprimées immédiatement par les variables de l'équation ; mais , comme nous l'avons remarqué, n"". 761 , 765 ^ il reste encore bien des difficultés à éclaircir dans la Théorie des équations différentielles partielles.

1 139. On aura aussi par des intégrales définies les différences ^ les différentielles et les intégrales de toute fonction , qui dépendra d'équations ^ soit aux différences , soit différentielles , intégrables par les méthodes précédentes ; car cette fonction étant exprimée par des terme de la forme A'fu'y du, om A'fr^'v du , on aura

OU bien ^^

^^ = (— I yj'fr'^u^du , Ay,=J'fr^'ydu(r*^iyi

les intégrales fy^dx*^ et ^y^,, se déduiront de ces formules en rendant négatif l'exposant n.

Nous prendrons pour exemple la fonction — , qui est l'intégrale

dy de l'équation ^ J" + ^^ ~ ®*

Cette équation étant traitée comme celle du n"". précéd. on en tire

d.yu

my"^ — =0, Auy:=o,

A LA Théorie dés suites, 529 d'où vz=A'i^\ jr=~=^/«-^«r-<f«,

et les limites de Tîntégrale seront u=zo et u infiai, La constante devant être telle que la fonction se réduise à =;=:i , lorsque jc=I| et l'intégrale définie derenant zlors jr^u'^'du, il en résulte

L'expression que nous venons d'obtemr peut être employée à trouver les différences , les différentielles et les intégrales à indica

fractionnaires de la fonction — ( n*. 1074 ) ; on en tire

I fiT'^r'^i u ( #-»~ I )»

jc- fuT-'r^du

en y changeant le signe de m ^ on aura a*.x*. Lapface sTest pardculièrement attaché à déterminer ces fonctions par des séries conver« gentes, et il a donné sur cela des détails oii l'on ne sauroit entrer ici»

jtppmdUei ' Xxx

J30 CH. IV. D ES É <IU A T 2 O N s

Des c(juaîions' aux Différences mêlées. Théorie analy- 1140. ^ OU S avons montré' suffisamment dans ce qui précède

tique des équa- . . , ,

tions aux difEi- que le Calcul différentiel et le Calcul aux différences pouvoient renccs mêlées. s'appliquer l'un à Tautre ; mais nous 1 n'avons considéré qu'isolément les questions où il s'agit de déterminer une fonction par la connoissance de ses relations avec ses coefficiens différentiels , ou avec ses différences. Pour compléter le tableau des divers points de vue , sous lesquels on peut être conduit à la recherche d'une fonction au moyen des circonstances que présentent les changemens dont elle est susceptible , il nous reste à examiner le cas où la condition qui doit la déterminer mène à une équation contenant en même tems des coefficiens différentiels et des différences, et que nous appellerons équation aux diffinncts mêlées^ Ce genre d'équations, dont Condorcet et Laplace se sont oc-» cupés les premiers , n'est pas une sjmple combinaison de formules analytiques , il répond dans la Théorie des courbes à des questions aussi difficiles que variées , et quelques-unes de ces questions s'étoient déjà offertes aux Géomètres dès l'origine du Calcul différentiel et du Calcul intégral.

L'équatioQ a— + bày+cy=:0

est une des plus simples de celles qu'on tpeut se proposer entre les coefficiens différentiels et les différences ; elle n'est que du premier degré et du premier ordre , tant par rapport au coefficient différentiel , qu'à l'égard de la fonction et de la différence. Si Ton suppose A X = I , on y pourra faire y^zCc"^' : elle se changera en am + t{ «" — i) + c = o; et toute détermination de m qui satisfera à cette dernière équation , donnera une valeur de y renfermant une constante arbitraire.

AUX Différences mêlée i. 531

On satisferoit encore par la supposition de yzzzCc"^*^ à l'équation

a—^ + b — +cày+fy=iO^ dx dx

d /iy

<jui difïère de la précédente par le terme a - — , dans lequel les caractéristiques ^ et A se trouvent combinées ; on auroit dans l'hypothèse établie

^ = Ce^m , hy =C «"*(«•— I ) , -~ = Ce^m ( e~— 1),

dx dx

et pour déterminer m , on trouveroit Téquation

am{ e"*— i ) + * m + c ( <" — i ) + /= o.

A ne considérer que les équations qui déterminent m , on ne soupçonneroit pas que les deux équations aux différences mêlées , que nous venons de rapporter, pussent ne pas admettre deux intégrales de la même généralité; mais si l'on fait attention que la seconde contient des termes affectés en même tems des deux caractéristiques d et A , il sera facile de reconnoître que tandis que la première peut être envisagée comme le résultat de l'élimination de deux constantes arbitraires entre trois équations de la forme

y=:0, dy = 0, LVzHO ^ (l),

la seconde en suppose quatre de la forme

^ = 0, dr=zo, Ay=zo^ dA'y = o ••.(!),

entre lesquelles on peut éliminer trois quantités.

Le dernier système d'équations offre aussi la possibilité d'éliminer entre les équations ^:=o et aF=zo^ une fonctipn arbitraire du genre de celles qui complètent les intégrales des équations aux différences ( n"". 998 ) ; nommant f^=o le résultat , on aura encore à éliminer une constante entre les équations

r=o. Jr=o (3).

Les équations qui sont le produit de cette dernière génération, sont toujours telles qu'en y regardant Ay comme une nouvelle variable , elles satisfont aux conditions relatives à l'intégrabilité des équa« tions différentielles à trois variables^ et se distinguent par-là de celles

Xxx t

53^ Ch. IV. Des ÈtivAriovtë

qui résultent des é(|uations (i) ou des équations (i). En considérant

les équations

dr—o, et t.dV'=o (4);

dans lesquelles d V* représente une fonction difFérentielie quelconque

du premier ordre et à deux variables , on obtiendroit des équations aux différences mêlées qui pourroient être mises sous la forme d*équai

dy tion aux différences contenant les trois variables x,y tt — . Biôt ^

dans un Mémoire qu'il a présenté à l'Institut ^ et dont nous avons tiré une grande partie de ce Chapitre , désigne sous le nom à^iqua^ tions aux difflrmcts successives celles que donnent les systèmes (3) et (4) , parce qu'elles résultent immédiatement ou d'une différence succédant à une différentiation ^ ou d'une difiiérentiation effectuée sur une différence.

ii4i« Toute équation aux différences successives doit être sus* ceptible de deux intégrations distinctes ^ l'une par rapport à la caractéristique A et l'autre par rapport à la caractéristique d; mais il n'est pas indifférent de commencer par la première ou par la seconde de ces intégrations. Lorsque celle des différentielles peut s'effectuer ta première , le résultat que Pon obtient d'abord contient une constante arbitraire, et l'intégration aux différences introduit ensuite une fonction arbitraire; mais si l'on intègre d'abord par rapport aux différences, on sera souvent obligé de (ferticulariser la fonction arbitraire , pour effectuer l'intégration aux différentielles..

Soit pour exemple

dx dx 4\ dx/

Cette éqnatîon ne renfermant que tes variables x , et Ay que nous ' représenterons par i , peut être considérée , sous la forme

comme une difiërentîelle i deux variables ; elle rentre alors dans la classe de celles qui s'intègrent après une differentiation ( n*. 573 ).

Zâux Différences méléss» 533 On a ^ = « AT — i «•, d'où il résulte

En commençant par considérer l'équation proposée comme une dif* férence > on lui donnera la forme

dans laquelle /?==—; et pour l'intégrer ^ il ^era commode d'en

prendre d'abord la différence ( ^n*. 1009 ) ; on trouvera par cette méthode

Xù^^p — ^{lApA^p '+ Ay ) ==: O ,

ce qui donne les deux facteurs

aV = o, X— ;i(iA/^ + aV^) = o:

en intégrant le premier, qui est le plus simple , on obtiendra àpzsza^ et de là p=zax — ja*.

Cette dernière équation est intégrable y mais elle ne le seroit plus en général , si Ton remplaçoit la constante a par la fonction p{s\nTx ^ cosTx)^ qui est aussi constante par rapport aux différences. '

Il est à propos de remarquer que le Second facteur ap — 1 ( 1 A /^ + A V^ ) = o , est relatif à l'intégrale indirecte de l'équation aux différences ( n*. T009 ).

Il n*est pas possible , dans l'état actuel de l'Analyse , de donner des procédés généraux pour l'intégration des équations aux différtnces mêlées ; nous nous bornerons à observer qu'on peut les transformer en équations différentielles d'un ordre indéfini 9 en y substi-

dy tuant au lieu de a j/' et de a — , les séries

dyh d^y A* d^y A' dx I dx^ i.i dx^ 1.1.3

dW A iPy A*

T^.^ - +j^ + etc.

dx* I dx^ 1.2

n restera ensuite à satisfaire à ces dernières équations de la manière la plus générale , ce qui sera souvent très-difficile ( n% 999 ).

534 Ch. IV. Des à (lu a t i o k s

1142. La détermination de lëtcndue des intégrales des diverses espèces d'équations aux différences mêlées, est susceptible de discussions très-délicates , comme celle de l'étendue des intégrales des équations différentielles partielles , par rapport aux fonctions arbitraires qui peuvent y entrer ( n*. 76 1 ) , et Ton y appliqueroit les considérations employées dans les n***. 764, 765, 804.

On prouveroit par les considérations développées dans les n<^. 1005 et 10069 ^^^ ^^^ équations aus différences mêlées ont aussi leurs intégrales indirectes , qui répondent aux solutions particulières des équations différentielles , et qui se déduisent également de l'intégrale directe par la variation des constantes arbitraires qu'elle contient , en assujettissant la fonction donnée par cette intégrale , à satisfaire encore y dans ce nouvel état ^ à l'équation aux différences mêlées. Cette condition établit entre les arbitraires des relations qui sont exprimées par une nouvelle équation aux différences mêlées. Lorsqu'on détermine les arbitraires par son moyen , on obtient une seconde équation primitive qui ^ satisfaisant à l'équation proposée , représente des courbes ayant à chaque point même tangente que queU qu'une de celles qui sont comprises dans l'intégrale proposée , et même sécante pour deux points dont les ordonnées sont éloignées d'une quantité égale à la différence de l'abscisse. Voilà ce qui arrive lorsque l'équation proposée ne renferme point les caractéristiques a et ^ ap« pliquées l'une sur l'autre : si le contraire avoit lieu , l'intégrale directe et l'intégrale indirecte devroient s'accordertlon^seulement daos les va-

dy . Jy

leurs de j^ , -j- , A j^ , mais encore dans celles de A -7^ ; et alors . ax dx

en déterminant convenablement la constante arbitraire , il seroît possible de faire passer par deux points dont les ordonnées soient éloignées d'une quantité égale à la différence de 1 abscisse, deux courbes données , l'une par l'intégrale directe , l'autre par l'intégrale indirecte , qui auroient à chacun des points dont il s'agit même tangente , et entre ces deux points même sécante. Ces résultats étant très-analogues à ceux qu'on trouve dans les n°\ cités , il n'a pas paru nécessaire de les exposer en détail.

Avx Différences mêlées. 535

1 143. Cest principalement par la nature des questions géomé- . Application dw triques qu'elles peuvent exprimer , que les équations aux différences férences mêlées, à mêlées doivent intéresser ceux qui cultivent les Mathématiques. La ^^S"^^^^"^ fi^®* première de ces questions est le problême des trajectoires réciproques qui a beaucoup occupé Jean Bernoulli et Euler , qui l'ont résolu l'un et Tautre par des moyens fort ingénieux et fort élégans , mais indirects, quand on les compare à celui qui résulte de l'emploi des différences mêlées. Voici l'énoncé de ce problême.

Trouver une courbe M'C M , fig. 6 , telle quen la faisant tourner ^IG. 6. sur un de ses points , autour d*un axe donne ÂC , pour la placer dans une situation contraire à la premiire^ comme on le voit en N'CN , et la faisant mouvoir ensuite paraitèlermnt à elle-même le long de cet axe ^ elU coupe par^tout la première M'CM sous un angle donné.

Si le point C désigne celui sur lequel la courbe M'CM a tourné autour de l'axe AC^ pour passer à une situation inverse N'CN , l'angle iM'CA^ sera double de l'angle M'CA ^ et sera d'ailleurs égal parThypothèse à l'angle MM O (*), Maintenant , menons par le point M l'ordonnée MP perpendiculaire à l'axe AB i l'angle OMP fera égal à QNPy à cause du parallélisme supposé dans le mou vement de la courbe N'CNi et parce que cette courbe est placée dans une situation contraire à celle de M'CM, l'angle QNP doit être le même que l'angle Q^M'P', formé par cette dernière et l'ordonnée FM, prise de l'autre côté deACyh une distance^'?' égale à AP. Il suit de là que l'angle M'MO^ composé de QMP et de OMP ou de Qi^P^ est égal à CMP^ Q^MP'x telle est en dernière analyse la condition du problême , et c'est ainsi que l'envisageoit Jean Bernoulli.

En faisant ^P=ir, PM=^y, AP'=x\ P'Af'=y, l'angle 3i'CiM=ic,

dx dx

on aura tang CMP= — j tang Q'M'F= j-> j et posant pour

dy dy

abréger j^=/^> d7~^'^ ^ viendra

angl. ( tang = -) + angl.( tang = — ) — xc

C^) Il faut se rappeler que les angles formés par les courbes, sont les mêmes que «eux de leurs tangentes.

J3^ G H. IV. Des à <ivât i o n s

Voilà les équations de la question écrites en différences mêlées. H faut bien remarquer que la dernière équation exprime la loi de la variation de ^ , et que chacune des équations ne doit pas avoir lieu par elle-même , mais seulement que Tune étant posée % l'autre en est une suite nécessaire.

Ces équations sont ^feciles à int^rer : en effectuant d'abord , suivant le procédé du n*". 988 , l'int^ration relative aux différences , on trouvera

angL(tang = -) = c + i»( — i)

B fX b étant des fonctions arbitraires de sinT{ et de cosv'^. Lt variable { s'élimine facilement ; en faisant — == C ^ il vieot

arc r tang = -^=c+ ûr , ou - = tang {c+C*} ,

d'oii l'on conclin .

I I •— tang c tang Cx

'^~tang(c + Cjp) ~ tangc + tangCx** ,

On peut mettre cette valeur sous la forme

I + cos 1 c*^ sin 1 c tang C jr ^ sinx£4* ( I -t-cos2c)tangCif

I + cos 1 tf

- tang Cx

cosic II smxc

sm 2 c sm 2c 1 14- cos 2 c

\ 1 H : tangCjr

^ sm2c

et en observant que la constante C doit être regardée comme une fonction arbitraire , qui ne change point lorsque l'on y met— -jr^ au

•• 1 r I+COS2C

heu de x, on fera tangCr=Jfjc, en désignant par JC

une fonction quelconque de x assujettie seulement à demeurer consr tante quand on passe de -f^ à — x: on aura ainsi

/r = cotxc+ \ — ->,

sin 2 ^li— JTxJ '

résultat

AUX ÈilUATJONS MELEES. 537

i^ésultat semblable à celui qu'a trouvé Euler par une voie trèsdifférente.

Si Ton y remet -7- f au lieu àt p^ 6n en tirera

^ = *COtXC+ -; fdx \ — . \.

smxc II — Xx)

Lorsqu'on prend X::=o > on trouve d'abord la ligne droite j qui doit en eâPet satisfaire à la question proposée ; posant ensuite Ar=;=x*% il vient

y^xCOtx c : { X — 1 l-—r, f ,

•expression qui ne dépend que de Tintégration de la fraction ra-

Jx tionnelle

Bernoulli et Euler ne se sont pas bornés à résoudre généralement le problême des trajectoires réciproques , ils ont eu spécialement pour but de chercher parmi ces courbes celles qui pouvoient être algé» briques ^ et sous ce point de vue tous leurs travaux rentrent dans le Calcul intégral indcurmini ( n*'. 531 et suiv« ).

1144. Parmi le nombre assez grand de questions qu'EuIer a résolues sur ce sujet, nous choisirons encore la suivante qui tst peu connue.

Trouver routes les courbes eelUs <ium menant par chacun de leurs poînrs deux droites A M ^ M M', fig. 7 , faisane le même angle avec ^IG. jr. la tangente TM , la première étant dirigée à un point fixe A, la secondé terminée à la courbe en Wy la ligne M'A fasse avec la sangenu M!t U nume angle qut MM' (*).

{^) Ceux qui £onnoîueat les loix de la réflex'ioa de la lumière , yerront que le rayon parti du point A , et dirigé suivant AM^ serolt réfléchi deux fois par la courbe cherchée, la première de M en M\ la seconde de M'cnA^ et retoumeroit par conséquent au point d'oU il est émané. Ce problème a été proposé dans les acta trudiionim , ann« 1745 ( en septembre )•

jtppendiUé Yyy

538 Cn. IV. D E s É Q^UA T I 0 N s

Lts conditions de ce problême sont contenues dans les deu:K équations

angle^3f r = angle M'Mi^ angle A MV=z angle MMT^ dont une doit donner la loi des variations de x. Soit

JP=x, PM=y, JP'=x% FMi^y, ^==p , ^=/, ^=F;

en menant 3f Q , parallèle à l'axe ^^ des :>:, .et prolongeant MF jusqu'au point Q , on aura

MQ MP+PQ MP+P'M' y— y

tangMM'Q =

M'Q M'Q " MQ

en n'ayant point égard au signe de y qu'on peut supposer négatif dans la figure citée. Cela posé , si Ton observe que les angles MM'Q^ MOT y MOT\ sont égaux , et que l'on considère les angles cjk teneurs des triangles OMT ^ AMT ^ on trouvera

tang M'Mtz=tatïZ {PTM+M M'Q) = ^~^ ,

tang AMT=tzng(PJM'-PTM) =

X v — px

la première condition à remplir donnera l'équation j—px^ p—P

x + py i+pP ^^^'

La relation des angles des triangles OM' T tlJM'T conduit de même à

tang3fM'T'=— tang ( FT'M'+xMMQ ) = —

tang A M't'= tang (P'AM!+ P'T'M' ) = ^1^— =-^^.*\

d'oh Pon conclut pour la seconde condition