AUX D I F F É^^^ N C E S MÊLÉES
Tirons maintenant des équations (t) et (i) ^ les valeursr de P; nous obtiendrons
ce qui nous donnera l'équation
de laquelle il résulte que la fonction *^^ ^ =^ ne change point
p^X'^xpy — X
lorsque x derient ^\ Telle est l'hypothèse dans laquelle il faut
intégrer Téquation (3) , qui répond alors à — = const^ et donne
ajc
yzrzxyc, coTtst + ^ ( const ) ; nous aurons donc
^ y p^x-^xpy — x) yp^X'-^xpy — x)
La caractéristique f désignant une fonction arbitraire , donne à ce résultat une très-grande généralité , mais aussi on ne saur oit dans cet état l'intégrer par rapport aux diflfërentielles.
Il est intéressant de connoître ce qu'exprime la fonction
y xpx'^pry ^ ^^^ ^ ^^^. ^^ pa^yj^^t en la mettant sous la forme p^x^^xpy — X
zmi-p
^+py
et en observant que /» = taag PTM , •— — - ï= tang ué MT,
* -r py
elle se change alors en — tang (JM T-^P TM) , et montré que la difltérence des angles AMT et PTJH , ne doit pas varier dans le passage du ^oax M au peint AT, ce dont il est encore fecile de s'asstutr imnié£atenient par les considérations géométriques. Rot , dont nous suîtom ici le fflémoire , donne à la fonction ^
Yyy X-
540 C H. IV. DeB È<lUATJONS
plusieurs formes desquelles il résulte successivement un cercle.^' limite d'une infinité d'ellipses , et Tassemblage de deux droites , limite d'une infinité d*hyperboles : nous ne rapporterons point les calculs qui mènent à ces résultats ^ et dans lesquels il ne s'agit que d'intégrer une équation différentielle du premier ordre ; nous dirons seulement
qu'il faut , pour arriver au cercle , prendre ^ (- lJl\ = o »
et faire y pour obtenir l'ellipse et l'hyperbole^
Kp*x — ipy-^x ) Si on prend les limites des équations (3) et (5) dans la suppo* sition oîi X devient infini ^y^p^tP demeurant finis , ce qui place le point j4 à une distance infinie de la courbe {*) , on obtiendra
d'où l'on conclura
pT — r \p — \^ ~ . ^,
En faisant f( — ) = o, on aura seulement
y = —p^^ , d'où x+py= Vl^y%
ce qui revient à
xdx-^ydy . , ./
.___ =^y, et donne K :r»4- v*=jr+C Vx-^y^
Celte dernière équation appartient à une parabole*. L'équation -;;— inr^^^> ^^^^ apprend que toutes les^
courbes qui résolvent ce cas de la question proposée y ont , aux >points M et iW, des tangentes parallèles ou perpendiculaires. En effet , en réduisant ses deux membres au même dénominateur , et passant tous les termes dans un seul , on lui donnera la forme
et l'on en tirera par conséquent //+i = o, /^'— /? = o.
(^) Dans c€ cas du problème le rayon Inmioenx vient parallèlement à l'axe AB.
' AVX D I F F ÊR E y C E S JMTÉ LÉ E S. Ç4I
1145. ^^ ^^^^ questions que nous venons de résoudre se rapportent aux différences successives ; en voici une très- simple qui mène à une équation aux différences mêlées proprement dites.
Trouver tes courbes dans lesquelles la soutangente AT, fig. 3 , soit à F!g. ). la sousicante AS, dans un rapport constant, en supposant que la seconde ordonnée A'W soit éloignée de la première AB JCune quantité kk' égaUàïi. ^
Il est facile de voir que ce problâme conduit à une équation de la
forme •^z=^a—.
dx h
Si Ton met dans cette équation ; à la place de Ay , son développement en série , on aura Téquation différentielle d^un ordre indéfini
^dy d^Y h d^y h*
à laquelle on satisfait en prenant ^=^<'"% pourvu que m soit déterminée par l'équation
(a — I )/n + tf — + a +etc, = 0,
d'oh Ton conclut d'abord m=.o» puis- ^ - • ... . ^ .1
tf i mh m^h*^ m^h?
+ + H + etc.=o»
Si on désigne par m\ z»% m!*\ etc. les valeurs données par cette dernière, il viendra
y=:A +^'e*"+^ V+ etc.
expression dans laquelle on pourra fiaice entrer autant de termes qu'on aura trouvé de valeurs distinctes pour m. On s'assurera par le fetour des suites qu'il en existe au moins une réelle , dont on peut
obtenir le développement ordonné suivant les puissances de ,
et Ton aura, pour résoudre la question proposée, l'équation
y ^A + ^'e"% renfermant deux constantes arbitraires.
Feu Charles ( de l'Académie des Sciences } a transformé l'équatioa aux différences mêlées qui nous occupe , en une autre où la variable f ntre comme exposant de diff^entiatîon ou d'intégration» Pour x
50 CHt IV, Des è(iuat ion s
parvenir i nous ferons - s^ , ce qui changera l'équation proposée en
•OUI en tirerotti successiTement
etc. .
U est facile de conclure de là et même de s'assurer , à priori , que
y.^y^ln^\?^^^ ^\A\kv%
Le second membre de cette équadon étant multiplié et divisé par t^ ^
son numérateur deviendra le développement de • — ) ^ * ^ Ton aura par conséquent
s fon aroit cherelié les valeurs antécédentes à y ou correspond dantes à des indices négatifs, on auroit eu
Ces résultats ne paroissent pas propres à faire connoitre l'équation primitive de la courbe cherchée , mais ils conduisent à une construction discontinue, analogue à celle que nous avons donnée dans le a\ 1003 ^ pour les équations aux différences* En efièt , on y peut supposer jf==:r(^)i f désignant uioe fonction arbi-
AUX Différences m é lA es. 54}
traire y et déduire de cette fonction d'après la loi établie, les valeurs des ordonnées y,^ ^, , ^, ^ etc. correspondantes aux abscisses ar+A^ x+ih, « + 3A, etc. Il est évident que cela revient à prendre sur la courbe représentée par l'équation ^ = ^(x), une portion BB\ dans laquelle le rapport de utf 7 et AS soit conforme aux données de la question , et à se servir des points intermédiaires pour obtenir des portions de courbes antérieures et postérieures à la partie BB\ en calculant les ordonnas de ces portions par le moyen de leurs différences avec celles de la portion BB'^ ainsi qu'on Ta indiqué dans le n^. cité. Si Ton vouloit rapporter les ordonnées y^ et y n à leurs abscisses , il faudroit prendre pour première abscisse X — /lA, et x-i-nk; on auroit alors
1146. Le Calcul aux différences mêlées trouve aussi son application dans des recherches purement analytiques ; Français de Colmar a montré , dès Tan 5 , l'usage qu'on peut en faire , pour arriver à l'expression immédiate d'une transformée quelconque de l'équation différen ielle partielle
ditdv du dv
traitée par la méthode du n*. 772 (*). En effet , pour peu qu'on ait réfléchi Stir cette méthode, on voit bien qu'il doit entrer dans l'expression des coefEciens P^^ Q^ , it/^ , des différences ou des valeurs successives de l'indice n , avec des différentielles prises relativement aux variables x et y. Il faut se rappeler aussi que la détermination des fonctions arbitraires qui entrent d'une manière transcendante dans les intégrales des équations différentielles partielles , dépend d'une équation aux différences mêlées ( n". 993 ).
(*) Le Mémoire ob se trouvent ces recherches m'a été enroyé le i5 nivdse an 6 , et il étoit comiu d'Arbogast arant ce tems. Il en aroit eu des essaîs que j'ai vus entre ses mains en Tan i»
544 Ch. IV. Des èqvàtions aux dipf. mêlées.
Je terminerai ici la longue tâche que je me suis imposée , en ob«i servant que la durée de Timpression a été assez considérable pour que la science ait fait pendant cet intervalle des progrès que j*ignore ; qu'il a même été publié quelques ouvrages dont l'extrait n'a pu entrer à la place que je lui aurois assignée dans le corps du mien , s'ils m'eussent été connus à tems ; tels sont : les Disquisitioms anafytica de M. PfafF, qui contiennent des recherches très«ét^ues , sur la sommation des suites d*arcs de cercles dont les tangentes forment des progressions données et sur l'équation différentielle
traitée n*. 644 , enfin sur le retour des suites ; l'Analyse des ré« fractions de Kramp , et d'autres écrits dont on trouvera l'indication dans la table. J'avob annoncé aussi le dessein de traiter à part la Théorie algébrique des séries ricurnnus , mais ayant publié de* puis les principes de cette même Théorie^ dans le CompUmcm da £icmcns ^Algibn à t usage de (Ecole cemrale des Quatre- Nations ^ l'ai cru pouvoir la supprimer ici, puisqu'on y suppléera parfaitement en ajoutant à ce que j'ai dit dans l'ouvrage cité , ce qu'on trouve dans celui-ci sur la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples n*'. 368-371 , et ce que contiennent les n*'. 1043 f 1044.
