i::f» ^=7Zp"» ^=t:i

et enfin

l— AT '

Cl— a:;ci— «*Xï— ^; *

Cl— *xi— **;ci— *';ci— jf^ '

etc.

A LA Théorie des suites. 443

le terme général de ces dernières expressions est visiblement égal à

(i—xX^—x^)(\^x^) C^—x"^) '

mais par le n*. précédent le coefficient de or'* dans le développement de

fait connoitre de combien de manières on peut former le nombre n par addition avec des nombres pris dans la suite i , 2 ,. • ./n; et ce

coefficient étant celui de a: ^9 dans la première expression,

marque aussi de combien de manières on peut partager le nombre

/zH en m parties différentes. Il résulte de là qu'il y a autant

de manières de former le dernier par l'addition de m nombres différens , que de manières de former le premier avec des nombres pris dans la suite i , 2 ,• • • ./tz.

En suivant la même marche à Tégard de la formule

(i—xO('^—x\X\^x\X\^x'Oi^—'*'\') etc.

Euler parvient successivement à

( I ^x\) ( X ^x'O ( I —oi^OC I — *'c)r i—^\) etc. ^^

d'oii il conclut

X ^ Px ^ Qx „ Ri/ P = -^, Q = -, ii=ÎL., s = -etc.

(i-xXi-x') R =

(l^xXi^x'Xi-x')*

(l-xXi—x'Xi-x*Xi—**) *

etc.

Kkk 1

444 Ch. III. Application du Càlcvl intégral

expression dont le terme général est égal à *

(i-xXi^x*X^—^) Ci—*";

Le coefficient de x"**, dans son développement , étant le même <piê celui de x* dans le développement de

montre qu'il y a autant de manières de décomposer le nombre n+/n # en m parties ^ que de former le nombre n avec les termes de la

série 1 9 2 , 3 m.

1 100. En combinant ce théorème avec le précédent , on en pourroit déduire plusieurs autres assez remarquables , que nous sommes obligés d'omettre ; mais nous allons prouver cette propriété de la progression i, x, 4, 8^ t6, 32^ etc.

qu'il n'y a pas de nombre entier qui ne puisse résulter de l'addition d'un certain nombre de ses termes > et cela d'une seule manière. En effet ,

(i +*;ri +^';ri +*^;ri +^';ri +*";ri +^''> «c.

= I +x+x* + ;c'+A^+Ar^+Jc^ + A:' + ;t'+ etc.

pour s'assurer que la loi de cette dernière série demeure toujours la même > on fera

(i +xxi +*»;('» +*9rï +**;rï +*"';o +**';=^

= i + P*+Q;r*+Ax'+i'«*+etc.

on écrira x* pour x , et il viendra

= 1 +/»*•+ Q*<+^a:»+5**+ etc.

d'où l'on conclura

=1+ ^ +Px'+Pa?'+Q^*etc, P==,, Q = />, R^p^ 5=Q, etc.

La progression 1 , 3 , 9 , 27 , etc. jouit aussi de la propriété de former tous les nombres entiers possibles ; mais il faut combiner les termes tantôt par addition ^ tantôt par soustraction.

A LA Théo. RIE DES SUITES. 445

Les recherches dont nous venons de donner une idée ont occupé plusieurs Géomètres ; M. Paoli les a ramenées à Tintëgration d'équations aux différences , du genre de celles que nous ayons traitées d'après lui dans le nV 1026: elles rentrent aussi dans l'analyse indéterminée. Former , par exemple , le nombre n avec

les nombres i, i, 3 •••/n, c'est la même chose que de

trouver toutes les valeurs dont les quantités <e, f^^ y^ l fe,

liées entr'elles par l'équation

sont susceptibles en nombres entiers positifs. On pourroit pousser beaucoup plus loin cette théorie , qui se lie avec celle du développement d'une puissance quelconque du polynôme ^ +^^* -f ^^^+ etc. mais nous devons reprendre la considération des valeurs des intégrales définies y interrompue depuis le^n"*. 1086.

IIOI

ntmuation

recherche

des valeurs des in*

et X infini, trouvée i /^r/ori dans le n^ 1084 , se déduiroit aussi de ^f*T*"îî?^*"

' tegrales dénnies.

la comparaison de son développement en série avec celles du n*. 1091, qui peuvent s'obtenir sans le secours d'aucune intégration , d'après ce qui a été dit dans le n*. 1095. L'équation

+ ; + etc.

i+x^ m m+n m+xn m+in donne lorsqu'on y fait x=i ^ la série ^

; — + ' + etc.

qui exprime la valeur de l'intégrale depuis :r=o jusqu'à ;r= i ; on a ensuite

+ + etc.

I m— 'Il m— m m—^xn m— 4»

En supposant n>m , cette dernière série s'évanouit lorsque n tst

44<^ .Ch. IIL Application du Calcul intégral

infini; quand x^^i elle se réduit à

+ etc.

et donne la valeur de l'intégrale proposée prise dépuis x infini , jusqu'à 07= I ^ valeur d'un signe contraire à celle que nous cherchons: en la soustrayant donc de celjie qu'on a déjà trouvée , on formera la série

II I

etc«

qui répond à

mir

, et l'on aura ainsi la valeur de l'intégrale

nsin

proposée.

Les mêmes moyens nous conduisent à la valeur des int^rales

jn—\

dx ^

depuis x=Oy jusqu'à ^=1; car en développant , suivant les puissances ascendantes de x , les fonctions différentielles , on trouvera pour la première de ces intégrales

— etc. =st

nsin

et pour la seconde ,

3/1 — m yi-^-m Nous conclurons de là que

-^ etc. =

/ztang

niTF

L*=iJ J 1+.*" L*=in^J

A LA Théorie des suites. 447

les petites équations renfermées entre des crochets marquent les limites des intégrales. En observant que.

.m— II— 1

/x'^'Jx rx=o "1 rir"'"Vii? rjr=0"l rar^-'^AT rA:=î "1 i+AT" L*= infj^ i+x* L^=iJ"V i + J»^* L^= inf J'

on trouve cette relation remarquable

ï + ** L^=iJ^ i + jc» La:= înf J'

iioi. Soit /ï=2^ et l^=:^— »; la formule / — deviendra

,tt

djf

les valeurs

n sm n tang

y se changeront en

ZASm^ ^— 2ACOS

Trtaog

2 A tang -^ ^ — ^— 2ACOt —

et y entre les limites jp= o et x =: i , on aura

+ x dx

Af X dx

n est bien important d'observer que les exposans a et « peuvent avoir dans ces expressions toutes les valeurs possibles , quoiqu'elles soient déduites d'une formule calculée dans la supposition que nttm soient des nombres entiers positifs ( n% 1084 )• Pour s'en con-

44S Ch. III. Application du Ca lcul is tégral

vaincre , il faut faire x=:^, « désignant le dénominateur commua auquel on peut toujours concevoir que soient réduites les fractions quelconques x et « ^ en sorte que « x et « # deviennent des nombres

dx aJz A- <tK

entiers; on a dans cette hypothèse — = , x =:^ , d'oh il

résulte

les limites de l'intégrale demeurant les mêmes qu'avant la transformation , on obtiendra la valeur de cette intégrale , en substituant dans les expressions 5 et T, les entiers «a et a» , au lieu de a et de « , ce qui ne les change en aucune manière. Cela posé , si dans Téquation

r=fXdx^

les quantités V ^iX désignent des fonctions de x et de « , on aura

deà J dié \

et de là , on conclura par ce ^ui précède , qu'entre les limites ;r=o

et :t=I y

.- 9r*sm — X--» x+a^

i/vV ix r —x +:c ir,

^« ./ ûKTv * •/ ax :t

ix/

Les expressions 5 et T ont aussi des développemens en série qui se déduisent de la substitution de xx et a— « à la place de n et de m dans les séries du n». précéd. et dont on tireroit par conséquent de nouvelles séries, en effectuant les difFérentiations indiquées par rapport à » ; nous les rapporterons plus bas.

Voilà quelques résultats de la troisième classe annoncée dans' len'. 1076; elle a fourni à Euler le sujet de plusieurs Mémoires intéressans auxquels nous sommes forcés de renvoyer le lecteur ;

nous

A LA Théorie des suites. 449

nous nous bornerons seulement à présenter quelques applications propres à fixer les idées et à faire connoitre la nature de ces recherches. Si l'on pose , par exemple , « =0 , on aura pour le second cas

ijt? dx ^ r^xx dx\x sr*

En continuant de différentier par rapport à », on passe à de nou« velles intégrales définies, dont les valeurs se déduisent de celles qu'on a déjà obtenues; on trouve ainsi que

rr— • — (i*) =

1+4; A (cos — \ COS

A—» A+» isin —

—•X dx ,. ^ 'jr IX

— — (\xY:=i ;.

('^^iD

Les séries correspondantes se forment aussi par la différentiation; comme on l'a indiqué plus haut. Les nombreuses conséquences que l'on peut tirer de ces formules s'offirent d'elles-mêmes , nous nous bornerons à en rapporter une seule , celle qui se présente lorsqu'on a «# = oetA=:i. La première des expressions ci-dessus donne '

'%dx(\xy w^

I + ^* ~ 8 * et la série qiii lui correspond se change en

on a par conséquent ' *

çr^ji Lo-JL— JL4.JL. L- a.

3^~n 3' 5' 7' V II' résultat assez remarquable quand on le compare à l'expression

^ ï= I — -+ .+ + etc.

/dx -r— r*

[Appendice» LU

450 Ch. III. Application Dv Calcul intégral

Il est facile de voir qu'on aura par le procédé dont nous traçons ici la marche, les valeurs de» deujt classe» suivantes de fQr(oule&

dx dS

fU'^ïx =^, X au

dx d^S

r^i;^'^y-dir^*

dx dT

fV^-\x =^

dx . d^T

etc.

dtà

en faisant pour abréger

X — JP

X— « X-j-ai

i+Ji;

Les séries correspoitdantes sont

et celles que donneat -rr»

du* *.

* +-4: etc.

, etc.

et celles que donniçnt -^ ,

jA+«- CA-—- « 5^ + *

+ etc.

etCr

Euler prescrit pour dtfféientieç îe$, expressions finies de J et de T , des' procédés dont le détail né sauroit trouver placé ici ; on peut d'ailleurs les retrouver facilement^ ou ^a former de nottfwâx.

Â tA Tnioitjn dmt sviTÈi. 451

1103. L'intégration e&ctuée par rapport à u fait aussi re« monter à des formules dans lesquelles \x st trouve au déno minateur. On a par cette voie

/j /^« +^ ï/ap f^Jx tX +X

du Ë — * -' ■ — =± f y g»

'jSdeè

. âx jt Ijt