I I II 1,1 I T I
Dans cette série les termes négatifs résultent de la multiplication d'un nombre impair de facteurs premiers , et les termes positifs d'un nombre pair.
438 Ch. III. Application du Calcul intégral
En développant l'expression
(i— *î)(^— ^0(1— 3^î)(i— J^O^tc' dans la forme
les coefficiens urf^ 5 , C yD j etc. seront comme ci- dessus les sommes des lettres <*, i3, j^, «T, etc. de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc. mais avec cette différence que les puissances de la même lettre se trouveront comprises dans ces produits , en sorte que la série qui résultera du développement de l'expression
(i— *î)(i— ^l)(i— 3^î)(i— J'î)etc.
sera égale , après la supposition de {= i , à la somme de tous les produits qui peuvent naître des lettres «^ , i8 , > , <r , etc. combinées d'une manière quelconque : on trouve ainsi que
(i-^)(i-î)(i-T)(ï-T)(^-Tr)(i-7T)etc.
Cette dernière série est précisément celle qui résulte de l(i— v)^
lorsqu'on y fait ^ = i , et qu'on en change tous les signes ( Int*
tC. 27 ) : il résulte de là que le produit infini
(i-î)(i-T)(i-T)(i-f)(i-rr)(i— rî)«c.
a une valeur infinie , et que par conséquent l'inverse
tend sans cesse à s'anéantir , on a pour limite 2éro.
En ne prenant qu'un nombre limité de facteurs, l'expression
-z 7-r-y Tn » V^^ exemple , on a la série
i + r+f + i + i + i + i + -^ + etc.
composée de fractions dont les dénominateurs sont tous les nombres ayant 2 et 3 pour facteurs simples.
A LA Théorie des suites. 439
On a en général
(■ - fX' - rX— fX' - ^X- - Tî^K
et Ton conclut de cette relation la valeur du produit indéfini par celle de la série , ou vice vtrsâ.
On trouveroit de même
(• + fX- + fX- + jh + 7X' * tf)"'-
IIIIIl ITI
En partant des équations
(^ - ^X^ -pX^ -7-X' -?^X^ -77^)"^-
on trouve
K-^X-^fX-^X-rX-^Tl^K
iti' i"+t 3*+! 5"+! 7»+i II-+I
JV~i»— I • 3—1 * 5--.1 ; 7=T"T?II7*^^^*
Ces combinaisons se multiplient à Imfini et produisent des résultats très-remarquables , mais trop nombreux pour nous y arrêter ; et nous renvoyons à cet égard au chapitre XV du livre II de Vlntroductio in Jnalysin infinitorum.
440 Ch. III. Application du Calcul intégral
1098. Pour ne laisser en arrière aucune branche de la Théorie , des suites , nous allons donner une idée du Chapitre XVI da même ouvrage , dans lequel Euler applique les produits indéfinis à la recherche des diverses manières dont on peut former un nombre par l'addition de ceux qui sont inférieurs^ ce qu'il appelle Panitio numtrorum.
En considérant Péquation
on obtient
^=A;*+Jt:^+X> + x'+x*+ etc.
Q=r*"*^+jc**V4- a:**^ +>^^'*^+ etc.
R =j»r*+^-^ + a:*-*"^^'+ x*+^-*'* + etc.
d'où Ton voit que les exposansde x^ dans les coefficiens de{%{% {'»ctc. sont les diverses sommes qu'on peut faire avec les lettres « ^ /B , > , l^ etc. combinées là i, lài, 3à3y tic. Il est évident que s'il se trouve dans le même coefficient des sommes égales entf'ellesy les termes dont ces sommes sont les ex^osans se réunissent en un seul , ayant un coefficient égal au nombre de ces termes. Si dans Q » on a^ par exemple, flt+i3=<r4->=/ï, les deux termes x*+^+^*+v, se réduisent à ix^, et le nombre 1 marque qu'il y a deux manières de composer le nombre n^ avec deux des quatre npmbres
Soit pour la série « 9 jS 9 > , «^^ « , etc. celles des nombres naturels 1,1,3,4^ 5 9 etc. on aura
= I+î(x +*• + Jf' + J>^^ + *^ + a?^ + 0?' + :k:' + ;r» + etc.)
+l*(*' +^ +1** +1^' +3*' +3*' + 4^*^ + 4«'^+ ç;^"+ etc.)
+ î3(a;« + a;' +2JC* +3:1:9 4-4-3^'°+?^"+ 7^1.^ 8*'H 10jc'^+ etc.) + î^(;c»« + :r*' + 2^^*+3A:''+tA:'^ + 6*»5+ 9*^'-h iia:''+ içx*»+ etc.)
+ç^(x'^+A:'«+i:c'7 + 3;r'8 + ,:r'9+7A:»*+io;t*'+i3a?»*+i8a?*^+ ctc \{{x^' +*"+ 1^^ + 3a:»*.+ 5a;*^+7a7^' f 1 ia:*'+ I4;c»»+io**»+ etc.)
+îV'+«''+iJif'*+3*'' + ï^^'+7^^' + ii^*+M'^'+"**^+etc.) etc.
sr
A LA Théorie DES suites. 441
Si Ton veut connoître de combien de manières le nombre 34 , par exemple ^ peut être formé par l'addition de 7 nombres, pris dans la série i , 2 , 3 » 4 ^ etc. on cherchera le coefficient de x'^^^ dans la série qui muhiplie {% et Ton trouvera que cela peut se faire de onze manières différentes.
' En faisant { = 09 tt réunissant entr'elles les mêmes puissances de AT ^ on aura
(i +xXi +:t:*;ri +a:VO +^*Xl +**Xl +*') €tC. = l+;i: + Ar*+iJr' + l^*+ 3x^ + 4^^+ 5X^ + 6«'+ etc.
les coefficiens des termes de cette série marquent de combien de manières différentes on peut former les exposans , avec les termes de la suite i.^ z , 3 ^ 4, etc. sans s'assujettira aucune combinaison en particulier ^ mais en les embrassant toutes ; ainsi 8 ^ par exemple, peut être formé des six manières suivantes
Il est à propos de remarquer que les élémens qui entrent dans chaque somme sont essentiellement différens ; si Ton vouloit admettre les répétitions , il faudroit alors considérer les fractions
(i—x) (i—x^) (i—x^) (i—^) ( i—x') etc. • . 4ont les développemens sont
- t+i(x +x^+ x^ -h X* + x^ + x^ + X' + X* + X* + etc.; +{'(x'+x' + ix^ +zx^ +3^* +3*' + 4a;' + 4a;« + 5x«*+ etc. ; +i^(x^ + x^+ix^ +3ar® +4*' +^x^ + jx^ + 8jt'*+ioAr"+ etc.; A'i^Cx^'^x^ + ixy+^x^ +^x* +6x^ + 9x'»+liA:"+i5x''4.etc.; + l^(x^+x^+ix' +3*' 4-5«^ +7^'*+i04;*' + i3A:"+i8a?''+etc.;
+îY^^+^' + i^^ +3^^ +5**V7a7"+iix'*+i4^'^+20A:'^+etc. ; .+{'(x^+x*+ix^ +ix'^+^x'' + jx**+iix'^'^ii}x\*+iix''^+ etc.; +i\x*+x^+xx'''+^x'' + ^x'^+7x'^+iix'^-^i^x'^+iix'^+ etc.; etc. [•■■■:■
I +^+iJt'*4-3«^+ 5:i;'^ + 7;f^+ ii;v^+ 15^:'+ 22^'+ etc. Apptndict. K k k
44^ Gh; III. Application du Calcul intâcblal
Le coefEcient 1 1 , affecté au terme j^'^^dans la série qui multiplie 7^^ exprime en combien de manières on peut former le nombre 14^ par l'addition de huit termes de la suite i ^ 2 , 3 , etc« Dans le second développement le coefficient 1 1 de :c% nous apprend que le nombre 6 peut être composé de onze aanières ^ ainsi qu'il suit :
6=1+1+1 + 1, 6=14-1 + 1+1, 6=i4-i + i-Hi + i + i.
1099, Pour développer le produit indéfini
ri+*îXi+;c*î;(^H.sVrî+^î^etc.=:Z;
Euler substitue x^^ à ;( , ce qui donne
ri+*\;o+^'î;o+^*î;ri+^î>etc.=— - — ;
faisant en même tems
Z=i+/>t+Qî*+Jlî'+5c<+ etc.
il obtient
— i+fje£+Qa?Y+/Î4f»{»+^*Y+ «*c.
équation qui revient à
Z= 1 + ^1 *î+ Q\4;V+ A 1 «V+'^ 1*V+ etc. + ij +^J +QJ +^| d'oh il tire
