I TT^ TT
et, par conséquent,
2dp^ "^ ¥ ' 2dp "^ 2.32.5' ^]ô« ^ 33.5.7
Mais on a
donc
On aura ensuite
2^? = |[T(/i)-ip-T(/i)4-i!?(/i)3 2^} = l[T(n)-i]^4-T(/i)-^i!o(n)*^,
2^î = |[T(/i)-i]e-+-T(n)-itc?(n)e(Çy+X(*)A, 2^î = |[T(n)-ip-T(/0-Hii?(/i)^f|;§»
Au lieu des groupes des iVn, si Ton prend les groupes compo ses, on aura à remplacer simplement ç(/î) par n — i . Dans le cas d'un nombre premier, on a
2*î = "("*-0(«-i)»gf.
2^î = «(«'-.)(«-.)'(f^yf-
Soit
(* ) "k inconnu.
FRAGMENTS DIVERS. 2j3
l'équation dont 5, est racine ; on aura
= ~^Ç[57iHn4-i)(/i2-i)-6n(n*-i)](/i-i)5
On peut de même calculer les autres fonctions symétriques, aux multiples près de A.
Parlons toujours des groupes simples, et considérons les ^2 = ^(p^n)^' Dans tout groupe autre que le premier, on a ^2= Y< A^. Donc la somme des ^2 correspondants sera
(T-i)cpiA2 = (cpj-çOA2, et le 52 du premier groupe sera donné par Téquation
la dernière somme étant étendue à tous les piv^ distincts. Mais on a trouvé (page 208)
Donc, pour le premier groupe,
5,5î = (T — i)cp,A(|cp4-hcpj)A2;
2l4 TROISIÈME PARTIE.
pour chacun des ï — i autres groupes,
Donc
25,5j= j(T — I)«pi(p4 ^
Semblablement
s\Si = (T — i)*cp{A*(|cp4-t- <pi)A2 (premier groupe), = «p}A^ (autres groupes);
25Î5, = (T-i)2cpî(Jcp,-4-o,)A*-h(T-i)o3A*
^(T-0?î[(T-i)Ç + ?,](fJ; et de même
i:*Js, = (T-i)<pJ{i(T-i)î<p4+[(T-i)«-i]ç,| f-' ^,
Les résultats trouvés suffisent déjà pour former l'équation (i5 ), lorsque /i = 3. Ainsi, que l'on prenne l'équation
qu'on y remplace k par 2 A, puis s par 2p, on aura 2*^^, En mettant A au lieu de Ar et p au lieu de s, on aura tj^4 ; k^ devra être
remplacé par — > k^ par -^ , A:^ par ( — ) > et il viendra
Pour /i =: 5, il y a un coefficient non connu. On pourra écrire
(s — 5k){s -h ky-^i^oL^ = o;
k devra être remplacé par 4 A et s par 2t, où ^ = p V- H- p -^ -
On aura ainsi
(f — ioA)(f-l-2A)*H-aA = o
FRAGMENTS DIVERS. 2l5
où, symboliquement, A2= g , A» = Ç , A^ = (jA\ A^ = fj
A<* = l^j par exemple.
II s'agit de déterminer le coefficient a.
Dans ce but, nous prendrons le cas g2= o^ gz= i, qui offre des simplifications considérables. Le dernier terme s'j réduira à — 27a. Connaissant ce dernier terme, nous en déduirons a.
Pour ^2 = o, ^3 = I , on a
^5=(4P^— OM^P^ — I0p3— i)27p3(P^— I)^ = 5(p»2-,9p9 3p6^.5p3 l).
p ^ ) = ^ racines de l'équation
a?* — iga?' — 3x^-\- Sa; — | = o.
On a
pM-i-p2w= 3pw— };- =p(w) 7^-7
Le carré du produit des racines t est donc
appliqué à tous les p racines de ^^ = o, c'est-à-dire
-KHi^y
appliqué aux racines x de l'équation
F(a7) = (4a7 — 1)2(2372 — loa? — i) — 2757(3? — i)^.
Le carré en question est donc
2l6 TROISIÈME PARTIE.
Mais
5^F(— \) = (4h-5)«(2-+-io.5— 52) — 27(n-.5)3 = — 5.36 4*F(-î)=-27(i-4)'=36.
On a donc — \( — 5)' ou 5* pour le carré demandé. Et maintenant le produit lui-même est-il +5 ou — 5? On a la racine
P ~~r + P '~P' réelle et positive , p -^ 4- p —^ réelle et négative, et les autres imaginaires et conjuguées deux à deux. Le produit est donc négatif; donc le dernier terme de l'équation en / est — 5. Ainsi
— 27a = — 5, <x- = Tf et
(^ — ioA)(«-h2A)8-f. j^A = o,
en posant symboliquement A<^= ( ~ j •
Il est à remarquer que le dernier terme, après développement, ne contient plus §2- C'est, en effet,
D'après le développement
(x — 5){x -hiy= x^ — iSo;* — 4^x^ — ^5x^ — 24^ — 5,
on. aura l'équation
OU
<•- Sgif^- 4o^3«*- 5^1 fî- ^gtgzt- Sgl = o.
(BrioschI; Comptes rendus, t. LXXIX, p. 1069.)
Considérons l'expression
FRAGMENTS DIYERS. 217
C'est une fonctîon algébrique de p — , g^, g^. Pour le prouver, que l'on prenne
et qu'on y fasse w = — > on a
a'(/i± i)a = o*! 2w=iz — ) = =b e a* —
Ainsi, les puissances n{n-^i) et n{n — 2) de/ — sont des
fonctions entières. Par leur quotient, on conclut que la puissance 4 Al est rationnelle.
Prenons, d'autre part, ^«(w) pour w = — ; on a
+;fî^)= lin. , '^.. ^r^(--^^)i-^-T^T •
La puissance n^ étant ainsi rationnelle, on voit maintenant que
la puissance 2/1 l'est aussi, en p — et p' —- Quant à p', on voit,
par le changement du signe de w, qu'il n'y entre point. C'est ce qu'on voit aussi par cette considération, que i(n+\ et i/n contiennent en même temps ou ne contiennent pas le facteur p' ,
11 est donc établi que/^" est une fonction rationnelle de j3 — >
de g2 et de g^. On pourrait prouver que le dénominateur (réduit
à être indépendant de p — par le moyen de J^,i = o) se réduit à
une puissance du discriminant; mais ce n'est pas utile. Ce qui importe, c'est que cette fonction rationnelle ne devient infinie pour aucune valeur des invariants g2 et g^ ; cela résulte immédiatement de ce que/'*^'*+2^ =^ t|^„^.i est un polynôme entier en g2, gz?
p — 9 p — } et que, d autre part, p — et p' — ne deviennent ja-
mais infinis.
2l8 TROISIÈME PARTIE.
L'expression /^^ restant toujours finie, les fonctions cycliques correspondantes sont racines d'équations à coefficients entiers.
(Le rapprochement avec la combinaison particulière -3— > relativement au cas n = 2, doit être fait.)
[On peut aussi employer la fonction analogue à -J— > savoir
= aQ-\- <Zipu-\- a^p'u -h ... H- a„-i p«-*M.
Par l'analyse employée au Tome I, on voit que les coefficients a sont des fonctions entière? de p — et p' — avec un dénominateur
commun tj^,, 4 f — )• En prenant la dérivée n}^^^ et faisant m = — ,
on aura
oxif'^"^ exprimé rationnellement, avec le dénominateur '^n-\ ( ~~ ) '
comme nous l'avons aussi par le quotient i^^-]
La fonction cyclique que l'on envisage , c'est le produit des fonctions y (ou un demi-produit) pour un groupe simple, composé ou cyclique. La puissance 2/1 de ce produit est une fonction rationnelle cyclique ; mais on va reconnaître tout de suite que des puissances, d'exposant indépendant de /i, le sont aussi.
A cet effet, s'il s'agit d'un groupe cyclique quelconque w^ a^v, a-w, . . . , on devra considérer
Changeant successivement wp' en açv, a^^v, ... et faisant le produit, on aura
Mais ces cycles spéciaux ne doivent pas nous arrêter, et nous devons surtout considérer le groupe simple et le groupe composé. Dans l'un et l'autre cas, il suffît de considérer
où/? est premier avec w, et de faire le produit
a La J
On reconnaît ainsi que la puissance p- — i est une fonction entière.
Il convient de s'arrêter ici quelque peu.
Soit n impair et non multiple de 3 ; on pourra prendre successivement/? = 2 et /> = 6, par exemple ;
[n/(aw)p et [n/(a(v)]35 sont fonctions entières et
est rationnel.
Ainsi I I /{oLiv) est une fonction cyclique pour /i = 6/db i. (C'est ce qu'on peut prouver aussi, avec Kiepert, par la formule
(j3(v f(iw)^f(w)
qui donne dans ce cas, a et 3 étant premiers avec n,
Mais chaque facteur est double au premier membre; donc TTy(a«^) est lui-même entier et rationnel.)
Soit /i = 6/ -h 3. On peut prendre /? = 2, et 1 |/(a«^) sera
entier et rationnel.
Si /i = 6/=h 2, alors on pourra prendre/? -= 3, et
2aO TROISIÈMB PAKTIS.
Mais I I ^3 est lui-même un carré, en sorte que [ 1 l/j est une
fonction cyclique.
Si /i = 6 /,/>* — I est (li\'isible par 24 ; ( 1 tf) est une fonction cyclique.
Les mêmes choses ont lieu pour le groupe composé.
En vue d'établir Téquation à laquelle satisfait la fonction
F= I ly, examinons l'expression de cette fonction en produit,
en partant de la formule de la page 216, et supposons qu'il s'agisse du groupe composé.
En admettant que soit un allument du groupe, on
aura les autres parla substitution de XA*, 'kk' kk et Xr', X étant successivement 1,2, . . ., /i — i, et l'on pourra prendre Ar'= 1 (si toutefois k' n'est pas nul).
On aura ainsi
X=i— il — « " ^" ^g"^- ^\i-e « q-) 1
fil i — q^P 11 i—q*P ]
Mais
Il e « ^« /=c" ^=« =e •*
X=i car
/if/i — i)(n — 2) . .n(n — n n(n^—i) = ~ (n — j) = ^^—
De même
qn\H ^=q "• =q «« -
FRAGMENTS DlYERS. 221
En posant pour abréger e " (jr" = Q, on aura
JjL e " y"j=(i-Q)(i-Q')...(i-Q'*-0.
D'autre part,
d'où
nn(.-.^V"'^)-nn <-«->)
m =: 70 m =■ ta
JJd-Q"») JJCi-Q"')
JJi-Q«P JJ(i-y»/')
On trouve de même
îAr)iir ^ 2X\ V-M- T-M-
7rtr=l
