TT(, - Q

I /(oA"-» -"•^'"•--1' . "'-■' •

A- / ir I «' - 1 ) w» — .

JJ(,g,.p).«

îitD

Le groupe co , qui correspond k ii = -^—9 donne un autre résultat; il faut poser /»'== 0, A" = X. 11 vient

îX/U sXiTC

I — r rt ^îp

Le produit des facteurs ie ^ est i"~* e * ~ . Celui des facteurs i — e " est /i. Celui des facteurs i — e " g^P (p^^

I q^np

rapport à X ) est tu ' ^^ niême pour celui des facteurs

îXiu

I — e " q^P. On a donc

I /wV"* tt(i— gr*'"»)*

Les circonstances relatives au cas q = o s'offrent ici sous un autre aspect que pour la fonction SptV/^; F^ reste fini, et Fo, F<, . . . , F„i sont nuls.

Avant tout, examinons le produit Fq F| ...F^. Les divers facteurs i — Q^ donnent pourA' = o, i, ...,n — i le produit i — Ç'P, quand p est premier avec n ; mais, si p est multiple de /i, tel que np', c'est (i —q-P')'^.

Le produit I 1 (i — (7"^)> où/? est premier avec w, peut s'écrire

On a donc

FoFi . . . F„i

I I (l — ^2/>«)2(| ^2p)î«»-2rt-2

et, en multipliant par tt»

FqFi . . . F,i iF

nin(n-i) e

/ TT f ^ -H 1 1 ( W - 1 ) '

JJ(l-5r2/.)3 I

= /lfc«(rt-l) e

(« -4-1 If n — 1 i>

[t. I, p. 4o2, formule (29)].

Si /i]>3 et non divisible par 3, — est toujours en-

lier et pair, et t''^'* *^ = ( — * • ^^ ^ alors

Au cas où /i = 2,

— -=2e~A~* ou UU'U'=e"^A S 11 r

ce qui est d'accord avec I (p. 194)» et avec la remarque ci-dessus, que F^ est une fonction cyclique.

Au cas n = 3, ^p. = 'ie ^ A ^; c'est F^ qui est cyclique.

La nature de F fait prévoir l'absence de certains termes dans l'équation

F/n-i + ai F« -h aa F«-i -f- . . . + a„ F -h a«+i = o,

f» — 1 011 déjà nous connaissons a,/^< = ^^ A *^ .

F est du poids |(/2 — 1), en sorte que cl^ est du poids >

c'est-à dire que a^ est du degré -> «•.2 et g^ étant des degrés

2 et 3.

Si dans a^ entre le facteur A, c'est avec un exposant m au plus

égal à

D'autre part, a/t contenant les produits kk/c des F, chacun de ses termes contient au moins A' — i facteurs Fq, F,, . . ., F,||, dont

chacun a le facteur g ^^ . Donc a^ a le facteur g avec un exposant [JL^ ^ -, et, par conséquent, le facteur A avec l'exposant

2 l'in

On a donc, si a^ n'est pas nul,

:pm:p

Par exemple, pour /i = 5,

lin 12

k = i o 3 Un terme c^j.

, ^ , i Le terme manque, puisqu'il n'y

( a pas d entier entre f et f .

X' = 3 i I Un terme c A.

A- = 4 f 3 Manque.

k = 5 I I Manque.

k = 6 2 2 Un terme en A*.

L'équation a donc quatre termes

F6-h c^2FS-+-c'AF3-4- J A« = o.

Pour donner de suite une idée du calcul, cherchons c et c'. Pour le premier, — cg2 est la valeur de F^ quand on a gr = o. Ainsi

Mais donc c = — -.-.

Pour c', le terme en q^ ne peut provenir que de — F^SF^^Fa ; car les produits F^F^F/ contiennent q avec un exposant au moins

ecral a 6 —t. — = -?■ • Or on a

En appelant a, [3 deux racines de x^ — i == o, on a

i:e'***'^=2aMo,

. WTt / 2/l/TC 2A-/TT \

FRAGMENTS DIVERS. 22t)

Donc D'ailleurs Donc D'ailleurs

Donc c'=^ 2, et l'équation cherchée sera

On verra plus loin comment on peut passer de l'équation en t (^jjage 2i6) à celle-ci, comment aussi on forme l'équation du second

degré qui, ^ ou F étant connu, donne p -= etp-^ •

Pour n= 'j :

n' — I k{n — \) Forme

lin 12 des coefficients

a26 TROISIÈME PARTIE.

PYagmcnts relatifs à la transformation.

Au Tome I, page 323, on a trouvé les résultats suivants :

y étant une fonction homogène, de degré p, des variables u, (0, w', si l'on pose

^ t'irto' , , tir

W = aa)r, û= y T.O) 7)0)= — ,

l'équation

a pour transformée

Soit, pour un instant, z=zytf(^v). Changeons u en nu, par conséquent i^ en iu\ Si jk=/(^) est solution de (A), alors Y=y(/iç^) est solution de

D'autre part, :; r=y((;) cp(i;) étant solution de (B), sera solution de

Donc, en posant

on transforme (A') en (B'). Au lieu de n^, Y, Z, mettons v, j, z, et nous voyons que l'équation

il) -^^-vD^-i-îV^2V^w2^

FRAGMENTS DlYERS. '22y

se transforme en quand on pose

Itzvo' , , iiz

Il = 'iwf, 12 = > rw — r. tu — — >

. to 1

y étant homogène et de degré p.

Pour cette équation (i), on a vu (t. I, p. 328) qu'en posant

et prenant x=^pu^ avec gi et ^3 pour variables, on a la Irans formée

p''S-"[^^»^'""^)^' "^^^'-^^ÇjS-'^'^^'^'-'^'^'^^^"

Cette équation (3) est, en somme, une transformée de l'équation (2), obtenue en posant

La lettre p désigne un nombre arbitraire, qui n'apparaît pa.^ dans Téqualion (3), et qu'on peut prendre égal à zéro, si l'on veut. Cela apparaît d'ailleurs dans le résultat, qu'on peut écrire

Comme l'opération D, faite sur A, donne zéro pour résultat, le

facteur A *^ joue dans l'équation (3) le même rôle qu'un coefficient constant. On doit donc écrire simplement

(4) / = e2VYJW^;»(Aajl2) 24(^j^)-V3.

S\y dans le premier membre de (3), on substitue x^y on obtient les termes suivants :

J7*-* — ^3*(* — i)ar*-*

Soit 5 un nombre entier, et substituons le poljnôme

P — Ax*-»- Xix^-^ -':-. . .-t- A^-i^r +- A.V,

où les A seront des fonctions de g-i et «^3. Le résultat sera

Le coefficient de x*"* dans le résultat se compose des pailles suivantes :

Ax + i(25 — 2X* — 2 — V)(25 — 'ik — I — v)

-+-A>t i(5 — A -hi)(4v-65H-6A-3)^ } ='H^')' — Aa j(5 — A- -t- 2) (5 — A: -f 1)^3 — vDA^t

Le poljnôme P satisfera à Péquation, si l'on a ^(A*) = pour les valeurs A' = — 1,0, i , . . . , 5.

Pour k = — I , on a

Ainsi les seules valeurs possibles de s sont - ou

Le nombre v étant supposé entier, prenons pour s celle de ces

leux valeurs qui est entière; on aura ces autres équations

O = ^(o) = Ai(25 — 2 — v)(25 — I — v) — vDA,

o = iKi) = Aî(25~4-v)(25 — 3 — v)-i-A5(4v-654-3)^ — vDAi,

o = ^(8 — 1) = A^v(v — i)h- A5 2.2(4v — 9)^ — CA^.s^s— vDA^i, o = ^(s) = A,,(4v - 3) Ç - 2 A,2^3- vDA,.

Il y a, comme on voit, s H- i équations, et il n'est pas permis de prendre A ad libitum. Mais de la première on peut tirer A|, DA|, D^Ai, . . . , D*A|, linéairement exprimés parDA, D^ A, . . . , D*+*A; puis de la seconde Aa, DA2, . . . , D^~* Ao, exprimés de même, etc., jusqu'à Tavant-dernière, qui donnera A, et DA^. Substituant ces valeurs dans la dernière équation, on aura une équation ^ = 0, linéaire en A, DA, ..., D*"'"*A. Si A est pris parmi les solutions de cette équation, on aura ainsi un polynôme P.

L'équation ^ = apparaît comme étant aux dérivées partielles, avec les variables g2 et g^ ; mais, vu l'homogénéité, elle se réduit à une équation différentielle. Pour effectuer cette réduction, en supposant A homogène, on remplacera A par une inconnue homogène et de degré zéro, en multipliant A par une puissance de gi ou de gsj ou mieux du discriminant, et l'on prendra pour variable J, suivant la formule de la page 3i3 du Tome I. C'est donc une équation différentielle et linéaire, d'ordre 5 + i, qui fournira l'inconnue A. Ou bien encore, on peut envisager l'ensemble (5) comme un système d'équations différentielles linéaires , avec s-^ i inconnues et 5 -h i équations.

Pour le moment, on se contentera d'observer un cas particu- 'ier, celui où v est le carré d'un entier impair, v = n^. Nous savons qu'on a la solution P==<]/;^(w), polynôme entier de degré

? = j et dont le premier coefficient A est une constante. En

-e cas, on le voit, l'équation ^ = o manque nécessairement du erme en A.

A la page 829, Tome 1, on a transformé l'équation (3) en pre-

23o TROISIÈME PARTIE.

liant pour inconnue

La iransformée est alors

( vDr,-f-(v— 3)(v — 4)a:^i= o.

Si l'on substitue x^ dans le premier membre, on .trouve

en sorte qu'on a, pour le coefficient de a''"^, dans le résultat de la substitution du polynôme,

^A-f-l ( 2 /• — *>. A- -T- l — V ) ( 2 /' — ik ~-1 V ) \

-f- \^k-^{r- k H- i)(4 V - 6/- -1- GA- - 9) ^ = ^,(A-).

- B>;.2(r - k - - 2)(r - A 4- 1)^3- vDBa- )

Les résultats sont tout semblables aux précédents, sauf que la condition

donne