CHAPITRE I. O

sont conformes à ce que l'on doit efTectivement trouver pour des fonctions elliptiques dégénérées (t. I, p. 2^), dont les arguments ont des valeurs finies. Quant aux dix autres quantités, toutes égales à — A, il est très facile de trouver leur signification. Pour éviter une redite, nous renvoyons le lecteur à un Chapitre ultérieur, où cette considération sera présentée sous une forme générale.

Autre équation pour la division par 5.

En prenant, pour inconnue, (a — bY au lieu de x. on obtient une transformée dont on verra plus tard l'importanco. Soit donc

{a — bY = x^—^y = t.

Par les équations (2), nous avons (8) ^xt^x^ — g^x — ig^,

De là se concluent aisément deux équations du second degré en Xy

Soient a, j3, y et a', p\ ^ les coefficients de ces deux équations; on a

i(Pa'-a?') = 27^1 -4- (^2- 0(^2-^2^-^!),

i(?ï'-TP') =- 4^5 ^(^-^2)(5^3 2^2^2~ 4^1 ^-3^1-27^1).

Dans le résultant (ay' — ya')* h- (,8a'— a^') ( py'— y?') apparaît le facteur (^ — ^2)- Ce facteur supprimé, on obtient un résultat remarquable par sa simplicité :

Parmi les diverses expressions de x en fonction de ^, remarquons celle-ci :

Soit ^{t) le premier membre (9) et DO le résultat de l'opération D (t. I, p. 294)? appliquée à ce premier membre, où l'on considérerait t comme une constante, en sorte que, DA étant nul (t. 1, p. 3oi ), on a

On obtient D^ par Tégalité

d'où résulte

' t^ — 'iffit^-^^

et, par conséquent,

On verra plus loin la généralisation de cette formule.

L'égalité (10) fournit, sous une forme remarquablement simple, l'expression du discriminant de l'équation en t. Après l'avoir écrite comme il suit

que l'on y remplace successivement x par chacune des cinq autres racines et que l'on multiplie, membre à membre, les cinq égalités analogues, on a

na? =

Les produits IIj: et II(^) sont formés parles derniers coefficients des équations (4) et (9). Quant à II<Ï>'(^), c'est le produit des carrés des différences des racines t, changé de signe, et multiplié par 5^. On en conclut, pour ce produit ou discriminant, l'expression

A propos de l'équation (4), voici quelques transformations, qui semblent fort intéressantes, sans être cependant utiles pour la suite de notre analyse.