A3 4 (vH-i2)— Al ^ -^^3 A — vDAj^ o

V— 3 Cv--iVv--3)

— J.OTS (v -I- I2)^j7ri ^3 H- UTTiTTs V U TZ^ = i> .

l*our ^vî ceci donne

-7.603- î ^^ ! ^0.3 ;__(v2 i)(vî -h 6)^3=0,

Cela posé, on a ou

TtJ — 3 TTi 712 -H 3 ~3 ~ '^3 , 201:1 712 ^ ^''S'Ï^I — "TU'i H- VTTiDtTi = O,

— 12 713 ^ (v -+-12)^2 7^1-- -, -'^s-i-BTriTTs — vOTTs = o;

d'où

27rJ— 32:7:1712+32713 = 83= — -— ^3,

,.^ rv-3)rv-i)(v-+-i) v(v« — i)(v— 2)(4v-+-3)

Par ces trois équations, on trouve SttJ, S7r<7r2 et 2%. En poursuivant, on voit que SttJ, S7r'j*n:a, etc., s'expriment en fonction entière de g2 et ^3.

Méthode élémentaire.

Soit a= — (v impair). On considère les arguments a,

2 a, . . . , a, et Ton forme la fonction

?(w)=/(pw)= (pw — pa)(pa — p2a)(pa — p3a) ...

= p2— TTip* -MTaP* — ...

a'(a — w^o'Ca -h ï^) . . . a'(/)a — a) a'(/>a-j- a). . .. ~" (a'a)v-ia'2a ... ^2^a ... •

On a

^^ = Ç(a-a) + Ç(aH-a)-+- ... -f-Ç(a-/?a)

-r-Ç(M-^-/?a)-+-...— (v— l)Çw.

Soit p = pa et posons w = ^ + e', e étant un infiniment petit. On a çp (p) HZ o, d'où

<p(a) £cp'(P)^ie'cp*(?)^... £"*"2cp'(P) ■^•••

J^(w — ^) = - + infiniment petit.

Donc

Il est clair que les arguments p, 2 P, [3 — a, [3 + a, ... reproduisent, sauf des périodes, les arguments zh a, dz 2a, ... en sorte que Ton a pour résultat 2 A y* — vtj^. Quel est l'entier A? On a les arguments dont les rapports à a sont

p, 2p, p— I, pH-1,..., — I, 2p-l-I, ..., — p), h

II j en a donc — ; p qui sont négatifs, au lieu de ; donc

Par conséquent

2cp'(pa) | V ^ V V ;j

Maintenant

donc

Maintenant on a

Par conséquent, en posant p^ =: a el remplaçant p'^jî et p'-p par leurs valeurs on a

//.v 1^ 2(2v — 3) ^ 4'' — 3 I fa ,, ,

(6) Da= -^ ^ a2— ^4; ^2—- 4n—\^^<^^ — ^'^<^ — Sz)'

Sommant les équations analogues pour les diverses valeurs de p, et désignant par 5^,52, ... les sommes des puissances semblables des a, il vient

Pour trouver la somme du second membre, il faut développer

___ Ao^ + Ài + -4-...

et la somme cherchée sera égale à X2.

Soit

f\^) [^ . 1^ . ifs .

on a

±(v — i)(v — 3) =fXo,

|:(v — 3) (v — 6)7:1 = fXoTTi-hfxi,

{(V— 5) (V — 7)7:2 = fXo7r2-l- î^lITi H- fX2,

d'où

jX, --..- 9^(v— 4)712 -i-(v— 3)7:î ,

et d'autre part

>^3 ==4Ft3--^2Ftl— ^3FtO,

Donc

- 4(v - 3)7:5 -- h^ - (V - 3)^î = - fa (^~ 0(^-^6)^2 -l-67:f —9.07:2.

En multipliant l'équation (6) par a^~\ on aura

- ^.|^) «^-^ ( 4 «^ -- gi ex - ^-j )

et en faisant la somme

jD^/. = 2(9-V — 3)5A--H1 g 5A-1 — X/,+ ,.

En divisant par x'^ et faisant la somme de A == i à A' = oc, on «

^2-ÂF.. ="<'^"- ^^2--^ - -^ ^^2^ -2-T^-

Or on a

V Sk-\ f'(x)

d'où, en intégrant de oc à jr,

26o TROISIÈMB PARTIE.

Enfin

Donc

Par là on a toutes les équations récurreqtes.

Si maintenant on détermine une constante A par la condilion