V -r— = 6.Çi

ot que Ton pose / = A/, on aura

vD/ ^ vDr vDA , D/

el si Ton fait en outre x =pf/, il viendra

é(|uation déjà établie autrement.

La même ana/yse abrégée, — Nous avons

v/ ia)Da =f\a) |^2(2v - 3)a« - 1^^ ^-J

Considérons le polynôme

on a

Ainsi <}i(a) = o, quelle que soit la racine a que l'on considère.

Donc ^(x) ^= /{a:)^{x), et il n'y a plus qu'à déterminer le polynôme 6(^). D'après les degrés connus de A(^) et de f{x)^ il doit être du premier degré.

Nous déterminerons ses coefficients par la comparaison des deux termes de degré le plus élevé.

Soit

f\x) = rF« — TZxX'^-^ -h7rja7«-2 . . . ln= ~" j«

Les termes des degrés les plus élevés dans ^{x) sont 2(2v — 3)37^ [/ia7«-i — (/i — 1)111 a7»-2]

ou

xn^i (2v — 3)(v— 3) + (v~3)(v-5)

TTi^F"

Donc

f{x) = v(v — i):r«+i — (v — 3)(v-+-2)a7«-f- ... = {x^^ — TZiX'^-^ -h . . . ) [v(v — i)x-i- 6iri], (a?) = v(v — i)x-{- 6tzi ,

et par suite

^ ( (4^3-^,^^3)/-^[^2(2V~3)^2^^^^5]/'-vD/

( -i- [v(v — 1)07-1- 6ir,]/= O.

Substituons dans cette expression la valeur de /(x) ; le coefficient de ;r'*~*, égalé à zéro, donnera

(2Â:-h3)(2/--h 2)irA:-hf -hïV(^ -M — 2^)(v -H6X:)7r>t-i^2 (A) { /v — I ,\/v-i ,\ rv } =0.

-h ( — ^ 4- 2 — Al ( -^ -f- I — Aj ^3TCA-2 -+- V DtTa — ÔTTiTTA:

Kn particulier, pour

A: — o, S.aiTi — Gtci — o, (A,) A-^ I, 5.47r, -f- ^2(v — I)(v-^ 6)^4 — 6111 -hvDui = o,

' — GuiTTj -h vDttî = o.

Ces formules récurrentes permettent de calculer toutes les fonctions symétriques entières de iti, Twg, .... Supposons, en effet, calculées toutes les fonctions symétriques de poids /r, y compris celles où Ggurent des symboles D, en sorte que Htz^ soit de poids /• + I , et proposons-nous de calculer les fonctions symétriques de poids k+ i.

Soit par exemple k = 3. On aura neuf fonctions inconnues