Dt[,)î, SttiDttî SiriD^TT

<*l, pour les déterminer, on aura neuf équations linéaires obtenues comme il suit :

Trois équations

v(Ai)7r2=o, 2(Ai)irf=o, i:(Ai)D7:, =

obtenues en multipliant le premier membre de l'équation (A| ) par les fonctions de poids 2, 7^2, itp Dit, et faisant la sommation. Les équations analogues

I,(Xi)r.i=ro, 2D(Ai)T[, r-. o.

L'équation suivante

iléduite de A pour /r =: 3.

Les équations

lir2 D Tij H- Siti D TUj — D SitiiTa , 22(D7ri)2-f- SiTiDî-iri rrr DîSttÎ.

Enfin l'équation

Mais ce sont des calculs atroces.

Voici une autre manière de procéder. En posant

l'équation différentielle (7) peut s'écrire

D/ H-v(v — i)a?-t-6iri — v -y- =0.

Considérons les divers facteurs y, ^i , . . . ,yi dont le produit fait •iiv=F(^), et posons -prr — ^=A; on aura

jNous aurons pour F l'équalion analogue (en remplaçant v etit^ par v^ et o)

[îv*— 3 1 DF

Faisons la somme des diverses équations (B), il viendra

2(27-3)372— 11I1^Ja + 7(72— I)a: — 7— = O.

■fSi* . DF T ..

biimmant -rr j on obtient

cp[(7 — i)A'— A2h- vSX2]-i-(7 — i)/'6a72— 1 ^, JA = o.

On connaît ainsi 2X, 2X*. Si l'on peut obtenir également SX', SX* , . . . , on pourra former l'équation dont l'inconnue est X. Différentions l'équation (7) après l'avoir mise sous la forme

?/'+ ¥ ?y - 4v (^«— 1 ^,)/'+ [7(7-1)37 + 67ri]/-7D/= o; il vient

?/'"+! ?XH-icpV'-4v((372-l^,)/^

-+-[v(7-9)a7H-67ri]/'-h7(7 — i)/-7D/=o.

OU

-+-[v(v — 9)r -h Gtti] -> + v(v— i) — V — ^ =o.

L'équation primitive, multipliée par — ^> donne d'autre part

Ajoutant, on a

— [v(v— O^-H-GiTilî^ -+-V '^ ^^' =0.

ou bien ou

ç[X'+(x«y]-i-cp'[|v+x«]-f-icp'x

— 4v(a72— •|^j)X'— 8va7X -i-v(v — i) — vDX =o.

Multipliant par X, il vient

<p[i(X«)--iX''+|(Xa)'] + <p[|(X«)'+X»]+i<p'X»

— 2V (a?»— i^j) (^')'— 8varX« + v (v — i)X — -DX* = o.

En faisant la somme, multipliant par v et retranchant l'équation analogue pour A, on obtient

Soit

et soil

pu =: Z = X -i- >

le développement de pu suivant les puissances décroissantes de x, on aura

^'.f- = 6x^ - (6p. + ■ ^,) +2 [ii "-')^^p"-'-6(" + ')?^]

.^^ n{n-i-i)pn

z''(f'^\z'o'=6x^-\-2pi — ^g2

• / / w X (n— i)(9.n — îj \

^y / '2(Al-f-l)(2/l-rl)p«+i ^^ g2pn-l \ !..

1 \ — (/l— 2)(n — l)^3Prt-H2 /

6^2^— 2 ^2 = 6a?î-h lapi +2 6 (ap«-Hi -I- 2p,i i p, -f- 2p,i 2p2-^ • . .) ^, '

Identifiant ces deux développements de p" u, il vient

2pl— 2^2= I2pi — i^2,

d'où

^2— ^2=20pi,

puis une série de formules récurrentes pour les p. Pour

71 = 2, 2.9P3 — |^2pl— 6pî =0,

n = 3, 22.IIp4— 5^2P2— 2^3pl— I2pip2= O,

Les coefficients p, se calculent au moyen des sommes des puissances semblables des racines de/.

On a, en effet,

Le terme en x dans le second membre a pour coefficient

V H- 45o— 65o= I (car5o= )•

Le terme constant sera

et, en général, le coefficient o^ du terme en — sera En particulier,

Par les relations entre les si, on aura des relations entre les pi, et Télimination fournira des équations algébriques pour chaque p/.

Soient ai = pa, <72 = p a a, . . . , a^^^ = p -^^— a les racines de f{oc)y el soit

12 = n(a/ — ai)

Cherchons à déterminer Dû.

On a

DO yi Da/ - Da, , • ^ .,

Da,

J^ ai — aj J ^ ^

Or nous avons trouvé

(8) vDa,= s.(s.v- 3)a;- ^^ ^-,- o(«,)^^^

en posant, pour abréger,

4a3— ^2« — ^3^ cp(a).

D'ailleurs on a

/'(ai) Jmdai—a/c k

Divisant Téquation (8) par ai — «y, et sommant par rapport à i et y, il viendra

12 ^ ai — aj ^{cii — aj){ai— a^) \^<v

Pour calculer la première somme, permutons-y les indices i et y et prenons la moyenne des résultats. Elle sera égale à

a68 TROISIÈME PARTIE.

Dans la seconde somme, nous distinguerons les termes où /r^/ de ceux où k=.j\ La somme des premiers sera (en permutant circulairement les indices)

ou, à cause de l'identité

K<U— aj){ai- -ak) ' (aj— ai){aj- - aji-) ' {ak— ai){ak— aj) 3 ^(rt/ — ay)(a,--rtA-)

Oi—aj

ou, en permutant / et y et prenant la moyenne,

j- 2(«/-+- aj-haji) r-. - i6V«/ = --4(v — 3)(v — 5)5i

Reste à calculer la somme des termes où A* =j\ à savoir

Or on a, par le théorème d'addition,

''4L at—aj J

a/H- ay+ ai-,- = - — * — --i i- ,

et, en ajoutant,

I cp(a/) -+- o(aj)

lai^i aj -h Ui^j -I- a/y = - ■^——^ s-—^ •

' '1 {at^aj)^

La somme cherchée est donc égale à

— 2^(2a/-t- 'iaj--ai+j-\'ai-j) =^ — 12V a/ = — 6(v — 3)5i

On a donc enfin

V -— - = [av — 3 — 4(v — 5) — 6] (v — 3)^1 = — (v — 3)(2v — ii)*].

Comparons cette équation à celle qui détermine A,

On

aura

d'où

DA (y — H)(2v — II) DU ^