CHAPITRE I

Quand, le discriminant étant nul, les symboles (7) deviennent des valeurs effectives, les trois quantités e» deviennent, l'une 2 A, les deux autres — A, et Ton a

Cot= 2A, 60= 6^= A,

Considérons le trinôme du second degré

(i3) ?a(a?) = (^-2ea)2-4(3ej— 1^2).

Ses racines, quand le discriminant est nul, sont donc loA et — 2 A. Les deux trinômes analogues ^q et cpy ont, en même temps, chacun, la racine double — 2 A.

D'autre part, le produit de ces trois trinômes est un polynôme à coefficients entiers en g2 et g^. Ce polynôme, quand le discriminant est nul, a, aussi bien que le polynôme (4), la racine simple loA et la racine quintuple — 2 A. Ces deux polynômes diffèrent donc seulement par un terme lA, où X est une constante, que nous allons vérifier être égale à l'unité, en sorte que l'équation (4) peut s'écrire sous la forme

Pour vérifier cette valeur de la constante numérique )., il suffît d'observer que l'on a

n(^2- 84)= ^1-32^1, en sorte que, dans l'équation (i4)) le terme constant est

comme dans l'équation initiale (4).

Cette forme (i4) a été trouvée par M. Brioschi en suivant une voie différente que nous allons montrer aussi. Au Chapitre IX du Tome II (p. 36i), nous avons eu déjà l'occasion de considérer le polynôme

comme un polynôme du quatrième degré et d'envisager, à ce pomt de vue, son hessien,

U{x) = --[x^-^ \ gtx^-^ 'y.gzx -4- rë ^2 )•

Nous avons considéré aussi, sans le calculer, un autre polynôme ï, savoir

-•5) T(^^=iri?-"5?^

Le calcul effectif donne

-^T(x)^-^X^-5gîX'^-9.Og3X^-lglx^-gtg30P-+- r6^2~2^1.

On en conclut

— 2«T(iiF) r^ x^— 5giX'^— ^ogzx^— 5glx^— SgigzX -^ gl — 32^1-

Par comparaison avec l'équation (4), on en conclut que cette équation peut s'écrire ainsi

D'autre part, on a vu aussi (t. II, p. 362) que la quantité

est le produit de trois facteurs doublement linéaires,

(x - eoL)(z — ea) — (ea— e^){ea— Cy), Ces facteurs, quand on suppose z = x^ deviennent

(cc — eay — (eoL—e^)(eo^—ey)=(x — eaLy — {3el—^gz)={^ai('^x),

en sorte que Ton a, par comparaison de la fonction (17) avec la définition (i5) de T,

— i^T{x)= cpa(2a:)cpp(2^)cpy(2a7).

Par conséquent, l'équation (16) n'est autre que celle-ci

c'est-à-dire l'équation (i4) déjà trouvée autrement.

GHAPITBE I. 9

L'analyse de M. Brioschi ne s'arrête point là. Suivons encore ce célèbre géomètre pour trouver, par un calcul direct, une transformation importante de l'équation (i4)- D'après la définition (i3)

et la relation

^a+ e^-i-ey= o,

on a immédiatement

Abrégeons l'écriture en posant

(«a— «p)(«a— «r)= 3eJ— 1^2= £«, a? — 26»= '^U- Nous avons ainsi

4 ?a— ça — Sfli,

4 ?p ^ 4 ?a-+- 2ea-4- 2(ea— e^)loL = |a-<- ea-+- 2(ea— «p)$a,

i ?Y = T ?a-^ 2ea-+- 2(ea— «y)?a= ?aH- ^ol-^ 2(ea— eY)?a,

et l'équation (i4) devient, les indices a étant supprimés,

u^ 6eÇ5-+. Se?*— 5 e2$2— 6ee2$ — s^ =, 1 a. On a, d'autre part,

e'+7e^-sn(^a-^p)(^a--^y)+T(ep-^y)*] = £n3eâ-4-^2+i(^p-ey)^].

Mais

d'où

— "4 ^2= «a«ft-+-^a«y-T-^fi^y = — ^aH- ^p^yj

— i ^2 - i («p— «y)* = - «a-i- i (e^H- ey)2 = — J 4,

lO TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

et l'on déduit

Sur le cas particulier ^3 = 0.

Quand gi est nul, l'équation (4) a deux racines nulles. Soient

on a, relativement à ces deux racines, d'après les équations (3)

et (4),

Quant aux autres racines, en posant x^ = g-i^^ on a

avec les deux signes ambigus en coïncidence. On en déduit

^-±i*/5(v/5±i)v/^, les deux signes =b étant, cette fois, indépendants l'un de l'autre.

Relations entre les six racines.

Soient X et Xq deux racines quelconques de l'équation (4), considérée dans le cas général; soient a, b et «o? ^o? l^s quantités qui correspondent à ces racines.

Par le théorème d'addition, on a de nouvelles quantités a^ et ô, , correspondant à une nouvelle racine x^ , au moyen des formules

I /^ y/yg — v/cpao\

I /\/cp6 — s/^b^X