CHAPITRE I. II

et l'on en déduit

Cette équation donne Xt en fonction de x et ^o> mais avec plusieurs déterminations. Par exemple, x étant donné, on peut intervertir a et è; on peut aussi changer les signes de y/ça et de y/cp6. A cet égard, on doit observer que les équations (i) donnent

(22) /cpav/cp6=(a — 6)3,

en sorte que, ayant choisi a, b et le signe de v/?^> ^^ ^'^ plus à

choisir le signe de yçï. L'indétermination qui subsiste, après le choix de ^, donne donc lieu à quatre valeurs pour Xi, Mais, d'autre part, l'échange simultané de a et de è et de «o et de èo,

comme aussi l'échange simultané des signes de y^cpa et de y/cpaoj n'altère point ^|. Il y a donc, en tout, pour Xt^ quatre valeurs seulement, et la formule (21) donne, en fonction de x et^o^ ^^^ quelconque des quatre autres racines de l'équation (4)-

Supposons choisis a, è, «o? ^0 et les signes des radicaux, dans la formule (21), qui détermine ainsi ^^. Associons à Xi une autre

racine ^4, en changeant les signes de y/cp^o et dey/cpèo- Nous aurons ainsi

I /^ y/cpq-f- \/'- oaoY ^ 1 /^ v/?^ + v/y^o

4\a — ao/ 4\» — c>o d'où résulte

(24) 2(a7H-a7o)-^a7iH-a74= - ;;? \i-^-

2 (a — ao)* 2 (6 — 60)2

Échangeons a et b dans l'égalité (20) et, en même temps,

d'après (22), remplaçons y/cpa par y/cp6 et y/cp6 par — y^cpa. Nous

définirons une racine X2, En échangeant ensuite les signes de y^cp^o

et de sffbQ, nous définirons la dernière racine x^ et nous aurons, semblablement à l'égalité (24), celle-ci :

,^. , . icp6-4-oao icpa^-cp6o

2(6— «o)^ '^ (a — boY

Les seconds membres (24, aS) sont rationnels en a, 6, a©? ^oj leur somme, symétrique en a et 6, aussi bien qu'en a© et 6o> est rationnellement exprimable en ^ et x^, 11 en est de même pour la somme de leurs carrés, et, par conséquent, la quantité ci-après

est une fonction rationnelle de x et de ^o«

Existence d'une résolvante du cinquième degré.

Cette fonction ^o? que l'on vient de reconnaître comme rationnelle en X et ^0» possède une propriété bien remarquable : elle ne change point si l'on y remplace x et Xçs par x^ et ^4 ou par x^ et •3?3 \

(27) -so = ^(a:-, a-o) = ^(^1, a?*) = ^(372,0:3).

Nous allons en fournir la preuve. Désignons par aw ou 2to'les deux périodes quelconques qui, dans a et 6 ou dans «o et 60? sont respectivement divisées par 5. Soient, en d'autres termes,

D'après les égalités (20) les arguments de a< et de h^ sont

I ((0 -f- (*)') et I (co "f- co'). Pour obtenir ^4, on a changé les signes

de ^^açs et de ycp^oî les arguments de «4 et de 64 sont donc |(a>-co')el|(a>-(o').

Opérons sur ^r» et sur Xi^^ comme on l'a fait sur x et x^ pour trouver x^ et ^4 ; on obtient, pour un premier couple (a, 6), les arguments -|to et fw^ — |o>: ce sont donc les deux quantités 6 et a que l'on retrouve, c'est-à-dire la racine x que l'on obtient. Pour un second couple, les arguments sont | co' et | w' ^ — | ^' > on retrouve donc 60 et <2o, c'est-à-dire la racine x^.

En opérant ensuite sur x^ et Xi^ comme on Ta fait sur x et Xq pour obtenir x^ et ^3, on retrouve nécessairement ^2 et x^^ puisqu'il n'existe point d'autres nouvelles racines.

Pour obtenir 0:2 et ^3, nous avons, dans l'opération qui avait