CHAPITRE I. j

fourni Xt et ^4, échangé a et 6 en remplaçant y/cpa par \/(fb^ et

y/cp b par — y/cpa. Ceci revient à remplacer l'argument de a par celui de b et celui de b par l'argument de a, changé de signe. Les arguments de «2 et de 62 sont donc

|(2(o-+-w') et |(— wH- 2(o') = 1(20) -f- w');

ceux de a^ et de èj en diffèrent par le signe placé devant w'.

En faisant la première opération sur le couple (^2? ^z) } on obtient les arguments |a> et ^w ou, ce qui revient au même, — I to et — I co, pour un des couples (a, 6) : on retrouve donc la racine ûo. De même, le second couple (a, b) donne la racine Xq. Ainsi, par la première opération faite sur X2 et 0:3, on retrouve le couple X et Xq ', par la seconde on obtient donc le couple Xt et x^.

Ainsi se trouve établie la propriété (27).

Ayant associé à une racine x une autre racine quelconque Xq^ on crée, du même coup, deux autres couples analogues (xi,Xji) et (^2î ^3)? et la fonction ^oj symétrique par rapport à ces trois couples, comme aussi par rapport aux deux éléments d'un même couple, est rationnelle relativement à ces éléments.

En associant, à la même racine x^ une autre racine x^, on créera d'autres couples, dont aucun, évidemment, ne peut coïncider avec un des précédents. Il y correspond une fonction z^, analogue à Zq^ ayant les mêmes propriétés.

Prenant successivement pour l'indice (jl, les valeurs o, i, 2, 3,4? on obtient cinq fonctions z^ : chacune d'elles correspond à trois couples. Les quinze couples que peuvent former six quantités, associées deux à deux, sont ainsi reproduits.

La somme des cinq quantités z est manifestement une fonction symétrique des six racines, la somme de leurs produits deux à deux. Mais la même propriété a lieu aussi pour toute somme de puissances semblables de ces mêmes cinq quantités. Effectivement on a, par exemple,

fonction symétrique des trois couples et des deux lettres de chaque couple.

l4 TROISifeXE PARTIE. — FRAGMENTS.

La somme Sw[[ est donc symétrique par rapport aux. quinze couples et finalement par rapport aux six racines.

En conséquence , les (/uantités z^ sont les racines dune éfjuation du cinquième degré, dont les coefficients (symétriques par rapport aux racines Xm) sont rationnels par rapport à gi et g^.

Cette proposition a son analogue dans la division par 7 et par 1 1 , comme on verra dans le Chapitre II ; elle est due à Galois.

La composition des deux couples qui s'associent à xx^ est facile à trouver. On a généralement

chaque indice étant remplacé par le reste de la division de cet indice par 5.

Cette loi se vérifie immédiatement par la considération des arguments.

En efl'ct, les arguments choisis précédemment peuvent être résumés ainsi : l'argument de a^ est, au signe près, égal à I (co'-H [Jiw), comme on voit en négligeant les multiples des périodes. Changer x^ en x^^ c'est donc remplacer w' par ci>' -j- [xw; par conséquent, c'est ajouter )x à chaque indice des quantités x.

Calcul de la résolvante.

C'est en vertu des relations entre les racines x que les fonctions symétriques des quantités z^ sont rationnelles. Toutefois, la somme et la somme des carrés sont symétriques, quelles que soient les racines x. Pour cette raison, ces deux sommes se calculent très facilement.

On a d'abord

puis

zl — x^xl -hxlxl H-^|iP|-h :ixxoXiX2X3Xi, ( 1 ! —)

et, psir conséquent.

^z"^ =--^a:\x) -^ixx^x^x^x^x^'^^ =5^