CHAPITRE I. li

De là résultent les premiers termes de l'équation en z : (29) z^-T- S^^z'' -h 10 glz^ -}-... = o.

C'est cette équation qu'il s'agit d'obtenir complètement, et nous observerons d'abord que tous ses coefficients sont, non seulement rationnels, mais entiers en g2 et g^- Les z sont, en effet, des fonctions entières des racines .r, et l'équation en x, dont le premier coefficient est l'unité, a pour coefficients des fonctions entières. Il en résulte que les z ne deviennent infinis pour aucune valeur finie de g2 et g^ ; ce sont, comme on dit parfois, des fonctions algébriques entières, exprimant par cette locution que les coefficients sont entiers, le premier d'entre eux étant l'unité.

Quand le discriminant A s'évanouit, on a vu que cinq racines x sont égales à — 2A; la sixième est égale à loA. Quel que soit rindice (jl, on a, en ce cas, suivant (28),

Le premier membre de l'équation en z se réduit alors à {z-\- g^Y- A cause de l'homogénéité, on voit donc que l'équation a, en général, la forme ci-après :

dans laquelle cl, p, y sont numériques, ce qui est d'accord avec la forme (29), trouvée déjà pour les premiers termes.

En prenant le cas particulier ^3 == o , on devra trouver l'équation

Pour déterminer les trois coefficients, il suffira donc de faire le calcul effectif dans ce cas particulier.

On a vu que, dans ce cas, deux racines x sont nulles ; prenonsles pour^ et^o« Les quatre autres racines sont ± sjgli et dz y/^j, ^ , Ç et $' étant elles-mêmes les racines de l'équation du second degré (19). Les quatre quantités a, b^a^^ b^ sont contenues dans une seule formule (18) où l'on doit prendre les diverses combinaisons de deux doubles signes. Prenons a et «o conjugués; b et éo le sont aussi : Xx et X;^ sont donc des quantités réelles, suivant

l6 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

les formules (21, 23). Elles répondent donc à une même quantité i ou Ç'^ X2 et X'i répondent à l'autre. En conséquence, on a

(3o) jso = -a-h^')gi=-5gi,

tandis que, pour les autres indices, Zm est égal k ± g2 y/Si'? c'està-dire ± igi\/5. Le signe + convient à deux indices, le signe — aux deux autres. Ainsi, pour ^3 = o, l'équation en ;; se réduit à

(3i) (z -T- 5^,) {z—igt v/5)2 {z 4- igt \/1y = o

ou bien

(5 + 5^2) (52 -H 5^1)2 = 0, z5-f- 5^2-3* -^ lOglz^-i- 5oglz^-{- l'Jg^Z -r- ll5 g^ = O,

(^ -+- ^2)^ -+- 4gl ( io;;2 ^ SgiZ -h3igl)=^o. Voici donc, dans le cas général , V équation cherchée :

{Z-^ g^y-r- i^{lOZ'^-\-5gtZ-i-'^lgl) = 0.

En posant

et, comme on Ta déjà fait souvent,

on réduit cette équation à la forme

(32) JZ5 -4- 4( ioZ2— i5Z -f. 36 j = o.

La décomposition (3i) du premier membre, dans le cas gz'= o, montre que cette équation peut s'écrire aussi de la manière suivante :

Si l'on pose donc

(34) i±i=-xs