CHAPITRE I. ly

on aura, après avoir extrait la racine carrée, cette autre transformée

Le caractère essentiel de cette dernière équation consiste en ce que la dérivée de son premier membre est un carré :

En outre, ses racines, déjà définies par la relation (34), sont susceptibles d'une autre interprétation extrêmement remarquable et dont nous allons parler.

Seconde expression des racines de la résolvante.

Prenons comme donnée une racine Zo de l'équation (33) : l'invariant absolu J s'en déduit sans ambiguïté. A cause de l'homogénéité, nous pouvons supposer qu'on prenne ^2 = 1, en sorte que A est l'inverse de J. Quant à l'invariant ^3, il a deux déterminations, résultant de l'égalité

En conséquence, toute fonction rationnelle de Zq et des invariants devient, au point de vue actuel, une fonction algébrique, mais non rationnelle de Zq, en général. Elle est rationnelle si le changement de signe de g^ la laisse inaltérée. C'est ce qui a lieu pour toute combinaison des trois couples (jr,Xo), (jr,,x^) et (0^2,0:3), ayant les mêmes symétries que Zq et. de plus, contenant à tous ses termes un nombre pair de facteurs œ. En effet, le changement du signe de g^ a pour effet de remplacer les fonctions p par de pareilles fonctions, affectées du signe moins, et chaque X est la somme de deux fonctions p.

Si, en outre, la combinaison choisie est homogène et qu'on la rende de degré zéro en la multipliant par une puissance du discriminant, on pourra trouver, pour la représenter, une expression rationnelle en Zo, à coefficients numériques; cette expression sera affranchie de la supposition ^2 = 1-