III

l8 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

Voici la combinaisoQ sur laquelle nous allons porter notre ^attention :

Elle satisfait aux conditions dont nous venons de parler. Pour trouver son expression rationnelle en Zo, supposons encore, dans le raisonnement, ^2 = ' • Considérons la valeur particulière Zo = 0, qui rend J infini, donc A nul. L'équation (9) montre, pour A infiniment petit, une racine finie et cinq racines respectivement

égales aux diverses déterminations de (^^A-)^. II en résulte, pour

To, une partie principale proportionnelle ù A '*. Mais on a

Le dénominateur de Ïq contient donc le iacteur Z^. De plus, il se réduit à ce seul facteur. En effet, A ne devient pas nul pour d'autres valeurs de Zo; quant au numérateur de To, l'équation (9) montre qu'il devient infini avec A seulement et qu'alors

To reste fini, car les six racines t sont de l'ordre de A^ et ont des valeurs principales différentes.

Envisageons maintenant la valeur Zo = — 4> q^ii donne J= i, «•3 = o. Nous avons déjà examiné ce cas, qui correspond, pour>So, à la valeur* — o^o» Le facteur (t — ^0) n'est point nul; mais (ti — ^4 ) et ( /2 — ^3 ) sont égaux à zéro. En effet, ûo^ et ^4 sont les deux racines carrées d'une même quantité ^2$ et, d'autre part, l'égalité (8) donne, g^ étant nul,

Semblablement,

Le numérateur de Tq contient donc le facteur (Z-i-4), mais avec quel exposant?

Etant prévenus de Texistence de deux racines doubles dans l'équation (9) pour le cas «-3 = 0, nous mettons aisément cette équation sous la forme