CHAPITRE ï

La différence des racines, qui deviennent égales, a visiblement pour partie principale un terme du premier degré en ^3. Le numérateur de Tq contient donc le facteur gl et, suivant les égalités (33, 36), (Zo+ 4) y figure au carré.

Le numérateur de To ne contient pas d'autre facteur que (Zo-t-4)^* En effet, quand Zo devient infini, Tq reste fini; c'est ce qu'on a déjà observé tout à l'heure à propos de l'hypothèse A = 00, qui répond à ce cas ; par conséquent, le numérateur de T© est du même degré que son dénominateur; d'où la conclusion annoncée.

Il est donc établi que l'on a

Je coefficient a étant purement numérique. En déterminant ce coefficient, nous aurons une nouvelle preuve de la composition du numérateur.

Quatre égalités pareilles ont lieu à l'égard des autres racines Zi, Z2,Z3,Z4. Le produit des cinq quantités To,T4,T2,T3,T4 est fourni par la relation (12); en sorte qu'on a

6"^| = 5»a»A«Jj(^)

suivant les équations (34, 35),

n(^)'="'=s<-"— •'•il

Il en résulte

Revenons à l'inconnue X; nous aurons

en sorto que les cinq racines de l'équalion (35) sont comprises dans la formule

où les indices sont entendus de la même manière que dans la formule ('^8).

Nous en avons fini avec la recherche des équations les plus simples dont dépend le prohlème de la division des périodes par 5. Ces équations, du cinquième degré, ne sont point résolubles par radicaux 5 on en aura la preuve quand nous montrerons, un peu plus loin, que toule équation du cinquième degré, par rextraction de racines carrées, peut être ramenée à ces équations particulières. Sur ce fait même se fonde la résolution de Téquation générale du cinquième degré par les fonctions elliptiques. Pour cette résolution, comme aussi pour le problème de la division par 5, il est utile de savoir exprimer les racines de nos équations au mojen de séries. C'est à ce point de vue surtout que le choix de t, au lieu de x, se recommande. En nous fondant sur les développements déjà connus, nous allons donc examiner le développement de / en série ou en produit. Mais, comme ces développements devront être considérés plus tard, pour des quantités analogues, dans la division par un nombre quelconque, nous allons, pour éviter des redites, les envisager immédiatement dans leur plus grande généralité.

Développement de 3' ( — ) c^ "• en un produit.

Au Chapitre VI du tome 1 (page ipi), on a vu s'introduire les

trois quantités ^(G>)e , dont les expressions par les racines e» rendent évident le rôle dans la division des périodes par 4» Nous les généralisons maintenant, en considérant, pour un nombre entier quelconque /i, la quantité