CHAPITRE I

011 2tô est une période. Le fadeur A^ ' est introduit pour fournir une fonction homogène du degré zéro.

Quand on ajoute une période à l'argument d'une fonction (i, celte fonction ci se reproduit, multipliée seulement par une exponentielle; c'est donc une pareille modification que subit la quantité A quand on modifie 2w en y ajoutant le produit d'une période par /?. Mais il importe de remarquer le cas où cette période ajoutée est 2 0). On a

D'autre part, si, au lieu de 2tô, on prenait, pour former )v, la période 2(/iH-i)â), il faudrait, au second membre (38), mettre (n -\- i)yJ au lieu de yj. La relation

-in-hl)- —V -2r,(o(-4-l)

combinée avec la précédente, donne

C'est le résultat que nous voulions établir. On doit se rappeler que £ est égal à — i quand G> est effectivement une demi-période ; £ est égal, au contraire, à + i (juand w est une période.

Soient 2C0 et 2(o' les périodes que l'on choisit pour former la quantité </, qui apparaît dans les développements en séries ; on aura

k et A' étant des nombres entiers. Employons la quatrième formule (22) de la page 4oo (t. I), savoir :

qf"z- — q"^

inn -^20).

Nous V mettrons —au lieu de u. On a d'abord

k' iT.\ 'jif.tô kk' It, k'^ii: m'

r.u^ 2 T. 0)2 2C0 /. k iTZ \ '}.y.

r,//« ST^W kk'iTZ /'k'\i

Si, pour abréger l'écriture, on pose

1 ijZM^ iiiz

() = qn = e~'^ y a = e'» >

après avoir multiplié par A*', suivant la formule (t. I, p. 4o'i)

(40) Al^ = -^6 iKi ^m)2^

on obtient le développement demandé

— 1 = f'é^'e Va2 QA'A" (i a^Q2A')"rT(i aAQ//i/i-H2A')(, __ a-AQm«-2A')

Les quantités 0^.

Nous avons précédemment, dans la division par 5, été conduits à distinguer les diverses racines par un indice (jl, choisi de telle sorte que la racine d'indice [jl corresponde à l'argument |(ci)'-4- (xo)); tandis qu'une autre racine, sans indice, correspond à l'argument |a). Cette notation se rapporte, d'ailleurs, à un choix arbitraire des deux périodes 2co et 2co'.

Il y a lieu, dans le cas le plus général, d'employer une semblable notation. Nous considérerons (/i-hi) arguments tv, çvq, Wi^ . . . , w,i 4 , définis ainsi :

(4'2) W= , WP^jj, = - (W H- (JLW), [JL = O, I, . . ., (n l).

Avec chacun d'eux, nous envisagerons ses multiples en nous bor-