CHAPITRE ï

nant à le multiplier par i , 'j», . . . , (/? — i). Ces [n — i) multiples

sont, tous, de la forme — Pour chacun d'eux, nous prendrons

la quantité A et nous ferons le produit de ces (/i — i) quantités X. Pour une raison que nous allons d'abord reconnaître, nous envisagerons ce produit comme un carré ; nous le dénoterons par 9- ou par ôjj^, suivant qu'il dérivera de (v ou de w^. Nous posons donc

( Ojx — X W^ . X '2 W^ ... X ( 71 — I ) (Vjj,.

D'après une propriété fondamenlale de lu fonction a*, on a

'lin — r)M 9.rû> 2r\ib(i — -)

pourvu que tô ne soit pas une période, ce qui a lieu effectivement quand 2w est égal à mv ou à fnv^^ 2co' et ato formant, on le suppose, un couple de périodes primitives. D'autre part, d'après la définition de "k, si Ton y remplace (o par (/i — '*)w, il faut, au second membre (38), mettre aussi (n — r)^ au lieu de f^, L'identité

combinée avec la relation précédente, donne donc

Si donc n est un nombre impair, les seconds membres (4^) sont des carrés et Ton peut en conclure

= Xiv. X 2 ir . . . X J ( /i — r ) «• .

Quand n est pair, ily a un terme milieu Iw, que déjà (t. I, p. 4<^i) nous avons vu sous forme de carré, et 6- se présente encore sous forme de carré.

Dans le problème de ladivisionpar5,les quantitésô- (avec n =. 5) se présentent d'elles-mêmes ; on a, en effet,

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