XJ

Par conséquenr, au facteur A^ près, les racines /, t^ coïncident avec les inverses de 6- et de 8^. On comprend maintenant la raison pour laquelle il v a lieu d'envisager, dès à présent, les déveoppements de ces quantités 0.

Développements des quantités Opt en produits.

Le rôle dissymétri(|ue que Ton fait jouer aux deux périodes •Àio' et 2(0 dans la quantité q entraîne une différence entre les développements de 6 et des quantités analogues ^^. Pour 0, la formule (40 donne d'abord, k' étant nul, .

En prenant successivement k = i , 2, . . ., ( n — i ) ej multipliant membre à membre, on obtieni, pour les premiers facteurs, le produit

/ i\ -/i(a-l) / i\«— 1 — (/7-I ]in /i-l

^ i(/ / n 7. * ^ *7 / 'i-<ï " = ng .

\a\ terme général i — a^Q'"" =: 1 — a*y"* fournit le produit

c'est le même résultat que fournit le terme i — a~*Q'"", en sorte (jue Ton a

(i5) 0» = V"^ Jj(i^Ç:y, ,n=2,.'„6,...,».

(Considérons maintenant Oii et, pour ce but, prenons  (--], en supposant

— = hw^. k=h\}., A'=h.

On aura, en ce cas, en mettant ip au lieu de m.

CIIAPITKE 1. 25

car a est une racine /i' '"'* de l'unité. T^es facteurs

de la formule (4» ) donnent ainsi des facteurs ayant la forme

OÙ p = o^ !,•>., .... Si l'on prend tous les pareils facteurs, avec h = I, 2, . . ., (/i — i), les exposants pn -h A reproduisent tous les entiers positifs, chacun une seule fois, à l'exception des multiples de n. De même, les facteurs

dans ces mêmes conditions, reproduisent les mêmes exposants. Le produit de tous ces facteurs est ainsi

/ //i [l/'ÎC /;/ \ 2

txQ2)/> ]2 T-T[ I— e~"^ " j [iQiyipyi ~11\ i"^^^n~ '^ / '

TTT TTT: TT = I I \ 7 / > //i == 2, 4, 6. .... oc.

En dernier lieu, les facteurs

par suite de Tégalité

donnent le produit

en sorte que Ton a finalement

(n*—l)\i.in /i— 1

(46) OfI=t«-lg «n 7 «'^ JJ

L'attention est, de suite, appelée sur le produit de toutes les quantités OH.

Pour une même valeur de ^m, non multiple de /^, les facteurs

(JL/n/ir ni

où [JL = o, !,..., (/i — 1), donnent le produit i — ^r'", de sorte (|uc les factoriellcs II des diverses quantités 02. fournissent, pour produit,

fJ(I-y-)^

où ^ m doit être non multiple de n. C'est justement l'inverse de la factorielle qui figure dans 6^, en sorte que l'on obtient

Au cas n = 5, on a ainsi

(0000,626364)2 = 5 et, par conséquent, suivant l'égalilc (44)^

ce qui est conforme à l'équation (y).

Développements des quantités 6|j. en séries.

Les factorielles qui figurent dans l'expression de ÔH se développent en séries, d'après une formule extrêmement remarquable. On la doit à Euler et elle se démontre très aisément par la considération des séries &.

Prenons Texpression de &o en série et en produit (t. 1, p. 4^9)? en y mettant z pour l'exponentielle e^^^ ^ dénotant, de plus, les nombres pairs m par 2/?, les nombres impairs n par 2/? — i . Nous avons ainsi

^{ — l)Pqi'^z^P=Yl (i — ^'^''~* ^^) (ï — y^''~^ -2"^) (ï — ^^^0-