CHAPITRE I

Désignaot par x une variable, prenons

Nous avons alors

On voit que tous les nombres entiers positifs sont reproduits, chacun une seule fois, clans les exposants du second membre; par conséquent,

V ( — \)nx * — I I ii — xP) = (i — .r)(i — j-2j(i ... x^). . .

Telle est la formule qui a été trouvée par Euler et dont il a tiré des conséquences arithmétiques sur lesquelles nous aurons à revenir. Elle fournit, notamment, pour le discriminant, un développement dont nous n'avons pas encore eu l'occasion de parler. D'après l'égalité (4^^)? en effet, il en résulte

-t-oc 4-»

1 ^^ --^ (fin-hi)'-

4/^ A-'* =r/'^'^^(-l)Py/>(3,.-f-i).-^2(.,)/.,y 12 .

Nous désignerons parF(y) cette série

-l-OO

(48) F(q) = V ( — i)/' qP'ip+i^ ^ i — q'^—q'^ 4- q^^ -:- q^* — q'-'\

Pour les quantités 0, les développements (45, \(\) donnent

(49) { / M./TC i\

Oy.==t2 e~ ï2« a 12/. L^l,^'/i..

Un autre développement a été trouvé au tome 1 [p. aSg, éq.(47)|' savoir

/ / x 3 ji^ * i2^-f-l)«

en sorte que la comparaison avec l'expression ci-dessus donne

(3i) F3(5') = i — 3y«-h j^/s— 75r»î-h ...-h{—i)P (ip-\-i)qP^P^^^

11 en résulte pour 9' et 0|1 des expressions explicites par les quotients de deux séries.

Les quantités dans la division par 5.

Les quantités 9, 6,t sont au nombre de (n-hi); on peut les réduire à des quantités distinctes, en nombre moindre. Nous nous occuperons, quant à présent, du seul cas n = 5. On a, en ce cas,

Dans la série F, en numérateur, envisageons les termes pour lesquels le nombre /?, de la formule (48), est, ou bien multiple de 5, ou bien multiple de 5 plus 3. En ces deux cas, l'exposant p{ip -\- i) est un multiple de 5. C'est, en outre, un nombre pair.

La quantité e * , élevée à une puissance marquée par cet exposant, donne l'unité. Le numérateur est donc partiellement composé de la série

provenant de ces termes et où ;jl n'apparaît pas.

Envisageons, en second lieu, les termes où/? est multiple de 5 plus i ou plus 2. L'exposant /?( 3/? -f- ï) est alors de la forme \op' -\- 4, et l'on a

/ {JL/lt 1\1

ifJLlTC *

L'ensemble des termes q'-P' compose la série suivante, changée de signe

Enfin, les termes où p est multiple de 5 moins i sont affectés de l'exposant/? (3/? + i), qui est de la forme lop' -{- 2, et l'on a