CHAPITRE I

rensemble des termes q-P compose la série

Effectivement, en supposant/? = — 5rt — 1 , on a

On a, finalement,

1 i^iTZ \ 2 0. /Il 11

tandis que la première formule (49) donne

Développement des racines de la résolvante du cinquième degré.

Il nous faut, des expressions trouvées pour 9 et Ôf^, déduire l'expression de Xj,., racine de l'équation (35), fournie par la formule (3-).

Pour abréger l'écriture, posons, un inslant,

Nous avons

nous en déduisons

et, par suite,

\ 5(x+i — -Sfi+i^a-î^-Hï — 3t3)(ri-4-a2p.i>2)-r a(i — a3)(a-t*t'i-haM-p.), \ *(x-^2---SM.-h3=a-l^-^(i — a) (ri-i-aSlAt;,)^: aî(i — a)(a-H'i^i-r-alA(^2).

De même, on a

i *(x+i-^*(x+4=2t' — a-t^-4(i-+-a3)(p,— a2lJ-P2),

3o TROISIÈME PARTIR. — FRAGMENTS.

Ces dernières égalités peuvenl être transformées si Ton observe <jue a est racine de l'équation réciproque

a* -T- a' 4- a* -f- a 4- I = o, dont la résolution donne

j (/j — I ) = a -r- - — af I -h a3 ) =

Les dernières formules s'écrivent donc ainsi

Nous avons enfin s = y/5i^ et, par suite,

i s-}-Sn—(\/')-^i)v— a-IJ-i^i -h a{^(^2>

( 5 — ^jj, = (v/5 — i)i' H- a-l^(.'i — aM'r2.

Nous allons multiplier, membre à membre, les égalités (Sa à 55), en observant qu'on a

a^r — a)(i — oi^)= i -i- iol^-]- ix-^ = — \/5 j remettant Ô au lieu de s et extrayant la racine carrée, ce qui donne

= V^5 (a-{^Pi-4- 0L\^V2)['x-V'Vi — (v/5-i- \)v — aM-Pj]

Le produit des quantités 8 est égal à ^/5 , suivant l'égalité (47); divisant par ce produit, puis revenant à Xjj^, que donne la relation (3^), nous avons enfin

( X [a-{Api-h(v/5— i)p — al^t^g]-

On a ici fixé, arbitrairement, le signe en extrayant la racine

• CHAPITRE I. 3l

carrée. Cela est permis, à condilion que l'on choisisse en consé-

(|uence le signe de la racine carrée ^J — i , au dernier terme de l'équation (35).

Or, pourra, on a le développement suivant (t. 1, p. 416)

n =:ao

On en déduit

gh^^^{q)W 3^1 — q^pJ'

en sorte que la partie principale de | y/J — i est 7^;; — C'est aussi

ce que donne la formule précédente (56); en y prenant la partie principale, on a

l^e produit des cinq racines donne donc

i/r llXr. (7-1-:-..., \\X = ^ = l\/S~^^.

On ne peut manquer d'observer le cas particulier J = 1, c'està-dire g^ = o, dans lequel une racine X est nulle. Parmi les quinze facteurs qui figurent dans les expressions, analogues à l'expression (56) de Xji,, il en est donc un qui devient nul, suivant le choix que l'on a fait de g et de sa racine cinquième.

Dans ce cas ^3= o, si l'on suppose g2 réel et positif et qu'on prenne, pour to' et (o, les demi-périodes dont l'une est purement imaginaire, l'autre réelle (w' = iw), il est visible que l'on a ^ = /q et /| = t.^. C'est une conséquence immédiate de la relation

qui a lieu (t. I, p. 3'î) quand g^ est nul. Comme w' est égal à /w, les arguments

•>.W 2(to'-+- ULfo) W= -~) W„ = =— î

sont liés ainsi :

tro= liv, «'i — — iwi, :

d'où résulte

Xo = Xj 3*1= X!^, t =^ to, ti= ti^.

C'est donc le facteur commun à .Vi -h 5^ el à 5o-h s qui est nul

Vi-\~ Vi— o — q

Fi-i-yspJ

JNous rappelant comment F((y^) a été décomposé en trois parties, observant, en outre, que q est ici égal à e""^, nous obtenons ainsi

où F désigne la série (4^)- ^^^ résultat ne doit pas surprendre. 11 résulte de la double égalité

que l'on trouve par l'inversion des périodes. Il suffit, pour obtenir l'égalité (07), de supposer ici -^ = 5.

Plus généralement, si, dans la relation (58), on suppose -:— = //, on obtient

c'est-à-dire, à l'égard des quantités 9 pour ;i quelconque (49)7

dans le cas où l'on a (o'= «w, ce qui correspond à ^3= o.