CHAPITRE I

Revenons à \^, donné par la formule (56), que nous écrirons ainsi

= ^ (Fi + q^Fi)bq^ ^Hq')- F^C^ri)],

de sorte que les cinq racines s'obtiennent par les diverses déterminations de la racine cinquième de q.

Si Ton pose

Q = 7% Qi = qh

on a, suivant l'égalité (58),

en sorte que le dernier facteur dans l'expression ci- dessus peut s'écrire ainsi, sous forme symétrique,

to

^\ ç^F\q^^)-.og\FUqt)\.

Résolution de l'équation du cinquième degré.

11 s'agit de réduire une équation du cinquième degrc; quelconque à la forme (35) de la résolvante en X, que Ton vient d'obtenir. Nous suivrons une marche inverse et, partant de l'équation

(59) /(X) = Xs-i-^X3-^5X-.// = o,

nous chercherons d'abord la transformée que Ton obtient en prenant une nouvelle inconnue u,

(60) Il = ^ )

c étant une arbitraire, qui va figurer dans ./ (c), f'{c), .... Nous écrirons, pour abréger,/,/', . . . , sous-cntcndant la lettre c, III. 3

On a

Les coefficients des termes en u^ et w"^ sont ainsi déterminés dans l'équation cherchée. Si on la suppose mise sous la forme

et qu'on substitue les expressions très simples Ae f ei f ^ savoir

/'=5(c2-i-l)2, f"='lOC{c^-f\).

on a ainsi

OU bien

IVl = — J-c^ — 2c2-j- hc -^i,

L= fc3— /ic2— fc-f-J//.

Le dernier terme de l'équation en u s'obtient aisément par le produit des racines :

,.^__ T\(i-^\)(i-\) f(i)f(-i) /;2-uy

Quant aux deux autres termes, ils manquent dans l'équation. On a, en effet,

YJ__ Y (X — r>^2 ^ 5cx^)2

Ces deux sommes sont nulles, puisque les polynômes numéra-