CHAPITRE

leurs sont des degrés 3 et 2, inférieurs, de plus d'une unité, au degré de/(X).

L'équation en u est donc la suivante :

En posant ^z = -^-y on a la transformée

^ cz

(62) .zS-i- 5/-32-1- 5/?i3 -h n -- o

avec les coefficients suivants, où Ton a remplacé li par |^/J — 1, comme dans l'équation (35),

^J/=.(jyL, ^^}m={?:f^\^ «Aj^^^E^y.

C'est maintenant le problème inverse qu'il faut résoudre, c'eslà-dire tirer les trois inconnues p, c, J de ces équations (63), où /, m, n seront donnés. Pour ce but, nous allons iaire connaître une identité que l'on obtient comme il suit.

D'après les égalités (61 ), on a

(64) cM-f-L-4-|/=o, c/-t-Mr=(c2+i)3

ou, en négligeant les multiples de (c--f i)-*.

Dans le polynôme, du huitième degré,

c2 L2 H- a c LM - 3 L/ -+- y M^

on peut donc choisir les coefficients a, |3, y de manière à le rendie divisible par (c-+ i)*^ ; il suffira qu'on ait identiquement

c2(c2-.J.)2„ac2(c2-l)H-p(c~i)-i-Yc-^=(c2-M)^ Voici donc ce polynôme :

c2L2--y^cLM - 3L/4-V^l'- Les coefficients de c^ et de c^ y sont nuls :

vu/ ~T~ 3 :j 9 3 ~f~ a * 9 — ^'

36 TROISIÈME PARTIK. — FRAGMENTS.

Le polynôme est ainsi du sixième degré seulement; c'est (c--t- i)' avec un facteur constant que nous trouverons en prenant c = o. Voici donc l'idenlité en question :

,..2L2 JJeUl 3L/4--VM2=(/i«-T-V)(c2-i-i)'=^J(M-r-c/).

Kn y substituant 1^, M,/, tirés des relations (^3), on obtient (()5 ) r^( /2 c2— Y hnp — 3 hi -r- V ni^) = p^( mp-{- nc^-).

La première égalité (64) donne (()6) (/«p-T- Jn)c2 = — /pî.

Eliminant c, on a une équation du second degré en p, (67) /2(/2p2— \^ i/np — 3hi-r- %^m-^) -i-(mp-i- 3/i)(//ip — m^p^^mn) = 0.

La précédente (66) donne c'^ en fonction de p. Pour obtenir/*, on peut, des égalités (63) et (64)^ conclure

M M mp

('/ t- INl (c^ -7-1)3 ffip ^ fic'é <'t, d'après l'expression de M,

«-.8) Ao^' ...^,c^,+ ^il^!±i)^»

ô mp -h nc^

On a, de la sorte, en fonction de /, /)iy ;^, la constante h de Téquation (39); l'inconnue z de l'équation (62) est exprimée en fonction de l'inconnue X par la formule

Pi^ — c) ^ *'^ c(X«-+-i)

L'irrationnelle p, racine de l'équation du second degré (67), est essentielle dans cette formule; mais la nouvelle irrationnelle cn'y ilgure qu'en apparence. De l'équation (Sg) on tire

pour en conclure