CHAPITRE I

Divisant par ni aux deux membres, puis remplaçant n par son expression, tirée de l'égalité (82), nous en concluons

^ '^^ \ = m{^m''--r-ZÇniilz-^'i-]l^z'')-- (m-^'Mz)\m-^'Mz)'i ' =-{im-\-'^lzf.

liemarquons que, suivant l'égalité (82), on a

(2m -4- 3/^)2= ^m'^—\inilz -\- ç^l' z'^ = \m- — lin = \\l— M. Nous pouvons donc conclure

(88) mr, = — if\\x— II)--

(^es deux relations (86, 88) donnent

(89) ( 4 1^ - 3X)-^$2 = !A8îJt - X )W' '

Ce résultai, comparé à l'égalité (78), fait voir, conformément aux prévisions , que la quantité p , seconde racine de l'équation (81), est racine double de l'équation primitive (67), si toutefois elle en est effectivement racine. Pour achever cette vérification, il faudrait encore substituer \ et r, dans l'équation (77) et retrouver, par là, pour N = /i^:m^, l'expression conforme aux égalités (84). Nous ne ferons point ce calcul, vraiment superflu, et nous allons établir la proposition réciproque de la précédente.

Observons d'abord que la relation (89) entre \ et r, peut être écrite sous la forme

(8{ji— X)/!^^ (v/4!^-3X)^

où les deux racines carrées sont entièrement déterminées, la première, comme représentant m, la seconde comme représentani 2 m -t- 3/^0. En employant les expressions (84) des coefficients, on a ainsi

(91) 5v/[x = ^0(3^5-'-^?). 5v/4l^-3Xz=-^o(6^3-hP).

Il est maintenant établi que, \ et [.<. étant déterminés en fonc-

lion de deux arbitraires >:;o et [3 suivant ces égalités (91), $ et y, suivant la relation (90), alors Téquation (^-) donne, pour N, la valeur suivante :

{3zi-9/fiy

Celte simple observation suffît à prouver la proposition réciproque, comme nous avions en vue de le faire : quand Inéquation (67) en p a une racine double, V équation (62) en z a, aussi, une racine double, Jl faut seulement excepter le cas particulier

l=Oy où l'équation (67) a la racine double p= — 5 — ; ç et y,

sont alors nuls et l'analyse ci-dessus ne s'apph'que point. L'équation (65) peut alors servir à déterminer c-, qui a deux valeurs distinctes. Ainsi les deux valeurs de p sont égales entre elles, mais les deux équations réduites, en X, restent distinctes.

Les considérations qui précèdent ont dû faire comprendre, dans tous ses détails, la transformation de l'équation du cinquième degré (62) en l'équation parliculière que fournit la théorie de la division des périodes par 5.

Le théorème, démontré en dernier lieu, peut être aisémenl vérifié par un calcul direct, et l'on trouvera, sans difficulté, que le discriminant de l'équation en p est égal au discriminant de l'équation en z, multiplié par /*.

Voici donc la conséquence : étant donnée une équation du cinquième degré (62) privée du second et du troisième terme , on peut exprimer ses racines en fonction rationnelle des coefficients, de la racine carrée du discriminant de cette équation et des racines de V équation particulière à laquelle conduit la division des périodes elliptiques par 5.

Pour faire disparaître le second et le troisième terme dans une équation quelconque, il suffit de résoudre une équation du second degré. La réduction de toute équation du cinquième degré à l'équation de la division des périodes exige donc seulement l'extraction d'une racine carrée, outre celle du discriminant.