CHAPITRE II

et déduisant B et C par la permutation circulaire, remplaçant ainsi a, 6, c d'abord par b, c, a pour former B, puis par c, a, b, pour former G.

Cette permutation circulaire met en évidence la nécessité d'introduire, outre les fonctions symétriques

X = a-h b -i- c, y = ab -\- bc -7- ca, z = abc,

les deux combinaisons

dont la somme est symétrique,

u-\- u' = xy — 3-3,

et dont la différence est la fonction alternée

Dans le calcul vont s'introduire aussi

que l'on fera aussitôt disparaître; car on a

(4) p= ux — xz — I.a^b^j v' = u'x — xz — ^La^b^

La forme symétrique Ha^b^ et la somme des cubes Sa*, dont nous allons avoir besoin, onl, d'ailleurs, les expressions suivantes :

( I.a'^b^=a^b^-¥-b^c^-hc^a^=y^—2xz,

^ { I,a^ = a^-hb^-^c^ = x'^^3xy-\-3z.

Arrivons au calcul effectif. Nous obtenons une première équation par simple addition, A -|- B -f- C, c'est-à-dire

Sa* — 3u — 6^ H- gîX-{- 3^3 = 0,

ce qui donne

(6) 3M = a?3 — 307/ — 3z -t- ffiX -{- '^ et, par suite,

(7) 3m':^ — x^-\-6xy — Gz — ^2^—'^0^3'

5o TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

De là résulte la combinaison

111 — u'= x^— iocy -^ gix -^ 3^3,

donnant, d'après (4),

(8) IV ^ v' z= x'*— ^x^y -h- gtx'^-^ ^gz^ — xz — I.a^b-,

combinaison dont nous allons avoir besoin.

Une seconde équation est fournie par c\ -f-tzB + èC; on a

cX = a^c — abc{ia -+- 6 h- 2c)-h à^c^-h b^c'^-\- \ gii^ac 4- 6c)-h g^^c. Il en résulte l'équation

p' — ']XZ H- 2Sa2^2| g^y 4 g^x = o.

Remplaçant (^' par son expression (4), puis u' et Ha^b- par leurs expressions (7, 5), on a ainsi

(9) x'* — 6x^y -f- 36xz — ^y^-^ ^2(^" — 3^)= o. Prenons enfin 6 A -|- cB -f- aC, ce qui donne le calcul suivant

bA = a^b-hb^c — b^a — 4a^b^-\-abc{a — ib)-h\gi{ab-hb^)-hg3b,

'2V — v' — il.a^b^ ^ xz -\- ^ g2(x^—y)-h g3^ = o,

puis, d'après l'égalité (8),

(10) x'^—ix^y-hSxz — 5y^-h\g2{^3:^^ — y)-higz^ = o.

Considérons enfin l'équation (abc) dans sa forme primitive (3),

Ces trois équations (9, lo^ 11) constituent le système symétrique que nous voulions obtenir.

Prenant x pour inconnue principale, nous éliminerons y et ^, parvenant ainsi à une résolvante en x. Par cette inconnue s'exprimeront ensuite les autres inconnues r, z^ ainsi que la fonction alternée [ii — u').