CHAPITRE II. 5l

Équation du huitième degré pour la division des périodes

par 7.

En éliminant xz entre les équations (9) et (11) ou bien entre les équations (10) et (11)^ on parvient aux deux suivantes, que nous ordonnons par rapport à y :

6y^ -^ {^ gi— 6x^)y -h x'* -^ giX'- -\-ijg3^ -^ -h ^1 = ^^ On en lire d'abord^, exprimé en fonction de x,

puis cette équation, ne contenant pas «•3,

(l3) 2lv2^|^27-^'-2^2^2^.|^^=0.

Écrivant cette dernière sous la forme

^'ï (7 + 28 ^2)' = ^^+ ï g'.X'^--— gl

puis substituant l'expression (12) de j^, on a l'équation finale

Le développement se fait par un calcul assez court, grâce à cette circonstance que g^ figure seulement dans le dernier carré; voici le résultat :

(33 5 7 x^— i\ giX^— i.V.-j gzx^ '-~^g\x''—y*.']g^gzx^

On peut représenter cette équation sous une forme symbolique 1res simple, avec les mêmes symboles qui ont servi, pour l'équa-

5si TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

lion analogue, dans la division par 5. En écrivant symboliquement

on peut écrire l'équation sous la forme

par où sont mises en évidence les racines 21 A et — 3 A, cette dernière septuple, quand le discriminant s'évanouit.

Pour chaque racine œ, on a^, 2 et la fonction alternée u — u'= t, au moyen des équations déjà trouvées,

mx^-r- 1 ^2)^' = 3x'^-+-igiXi-i- ixg^x -f- W g\,

3^=— 3(a — 6)(6 — c)(c — a) = ix"^— ç^xy -\- 3^ H- igiX -f-6^3.

Un cas particulier.

On doit observer le cas particulier où l'une des racines x satisfait à la condition

D'après le calcul même qui nous a conduit à l'équation (i4)î nous avons

La racine x dont il s'agit est double. Soient

i4^'--f ^2= P, 37* H- \gtx^-^ 7^aar -\- -^ g\ = Q

la condition P = o donne