CHAPITRE II

la condition Q = o donne ensuite

(19) ^'-sT^^V?'^''"'''

On vpit par là que, cette condition (19) étant satisfaite, la racine x^ entièrement déterminée par l'égalité (18), existe; elle est alors double. Par l'équation (i4)> en prenant ce cas comme une limite, on a

et, par conséquent,

Suivant l'identité (17) et l'expression (12) de r, on obtient donc

Il y a, de la sorte, deux valeurs bien déterminées, pour y^ correspondant à la racine double x\ donc aussi deux valeurs pour z et pour t^ d'après les formules (16).

Si l'on suppose la quantité (19), non point nulle, mais infiniment petite, alors deux valeurs de x \/ -g-i sont infiniment

petites ; nous allons calculer leurs parties principales.

Soit g[^ la valeur limite (19) de ^3, soit x^ la valeur limite (18) de X. En se bornant aux termes principaux, on a

sous la condition de mettre dans ( — j les valeurs limites ^'et i?\j. Comme on a

on obtient

/dq\ 23.3

Moyennant la relation limite (20), nous avons ainsi ou, en divisant par 3x'^ et extrayant la racine carrée,

^2(x-57') = zh3l/7| |;T-^2(^--^')+7(^3--^'3)J

Nous avons, de la sorte, les parties principales des deux quantités X — x'; elles sont du même ordre infinitésimal que ^3 — g'^, et imaginaires, gz étant supposé réel. Ainsi, quand ^3, variant dans le domaine réel, passe par la valeur ^3, deux racines x deviennent égales entre elles, mais ne passent point, comme il arrive d'habitude en pareil cas, du réel à l'imaginaire. Elles demeurent imaginaires : pour chacune d'elles, les signes des parties imaginaires changent au passage.

11 est bon d'observer que, pour ^'3 = ^3, le discriminant est positif, ^2 et ^3 étant supposés réels; on a effectivement

^ p^5 ^3 t^'X ol3

et g.^ doit être positif pour que g^ soit réel (19).

Cas où ^2 est nul.

Au cas ^2= Oî l'équation (i5) a la racine double a: = ô. Si l'on pose

en supposant à u une limite finie, la forme (i4) de l'équation donne immédiatement

CBAPITRE II. 55

Tout comme dans le cas précédent, au passage de g^ par zéro, deux racines x deviennent égales; mais, de part et d'autre de la valeur ^2=^j elles demeurent imaginaires : les signes de leurs parties imaginaires ne changent pas au passage.

Ces deux racines infiniment petites, ainsi que leur différence, sont du même ordre infinitésimal que g\.

Par les formules (i6), on trouve aisément que j^ est infiniment

petit,

et que z a deux valeurs finies

en sorte que les quantités a^ b^ c correspondantes sont les trois racines cubiques de z.

Les autres racines se trouvent immédiatement; car l'équation (i4) se réduit à

et donne, pour jc, les diverses racines cubiques des deux quantités suivantes

dont la seconde est de signe opposé à celui de g^.

Ces circonstances si simples s'expliquent facilement par la propriété

(23) p{0Lu)=%pu (a3=i),

que possèdent les fonctions elliptiques (t. I, p. 82) dans ce cas particulier.

Pour fixer les idées, supposons ^3 réel et positif, en sorte qu'on ait

OU, en d'autres termes,

(25) (Oj — (02(1 4- aa), a= •

Les arguments |t02, 7^2» 7-^2 donnent lieu à des fonctions p réelles et positives^ les arguments 7(0'^^, yw'j^, yco^ à des fonctions j) réelles, positives ou négatives, mais inférieures aux précédentes. Les deux seules racines x^ qui fournissent, pour a, fc, c, des quantités réelles, correspondent à ces arguments; ce sont

) /ïT— 33/ —

dont la première répond à fwo, . . ., et la seconde à f wjj- Pour distinguer les autres racines, nous poserons

Ce sera Targument de a^^ suffisant pour caractériser x^. Cette notation est semblable à celle qui a été employée au Chapitre précédent, et on la retrouvera, plus loin, pour le cas général. D'après cette notation, en tenant compte de (aS), on a

(^2= f 0)2(3 -\- 2a), 2aw2=T«*>2(3aH-2a2) = {aj2(a — 2) = faj2(3-+-2a) — 2a>2^«'2

et, d'après (aS),

«2= OLÙ2.

On a, semblablement, d'où résulte

Pareillement,

a W5= yt02(4 a — 2) =4t02(2a -l- 6) — 40J2 ^ 2^5,

awi=*w2, 37 = aa7i,

aW3 = -|oJ2(2a — 2)^S(V4, a74=aa73,

2a(V4 = |-t02C3a — 2) = 3wo, a7y = aa74,

22(^6= 7 W2(5a — 2) ES 5(^1, iri=aa76.