CHAPITRE II

En résumé, x et x^ sont donnés par les égalités (26); puis on a

Nous aurons besoin de connaître, dans le cas où ^'"2, au lieu d'être nul, est infiniment petit, les termes du premier ordre en g^ dans ces diverses racines. Dénotons par des lettres accentuées a:', x\^ x\^ ... les racines quand gi n'est pas nul, afin de conserver à x^ Xq, Xi y ... la signification qui répond aux égalités (26, 27). En premier lieu, nous bornant à la partie du premier ordre en ^o? nous avons, d'après (21),

Soit posé, pour une autre racine quelconque, x'^=: x^-\-^^. Dans l'équation (iT)), écrite sous la forme suivante où les termes en g:^y gl sont omis,

remplaçons j^par x^-{- ^^ en nous bornant aux termes du premier ordre. Nous avons ainsi

2J7fjL(^^—3-«.7^3)Jjj =. 7(375.-^27 ^3)/îr2.

Soit, pour [JL, une des valeurs o, 3, 4? c" sorte que Ton ail x^ = ol"^Xq, m étant l'un des nombres o, i ou 2. Multipliant par x aux deux membres, et d'après les égalités (26), nous concluons \^ = p7.^"^Xy avec cette expression de la quantité/? :

Moyennant quoi l'on a, pour ^2 infiniment petit, les expressions ci-après des racines x' :

Xq=^ XQ-^pX, X\ — CLXq-\- pOL^X, X''^ = (X^XQ-f- pOLX.

Soit posé, de même.

Les autres racines sont exprimées ainsi

x' = X -\- p' Xq^ œ\ — ol^x -\-p'oLXQ, x\^ OLX -\- p'cl'^Xq,

à quoi il faut joindre x'., = x'^ = o.

Nous avons supposé g^ positif; si g^i était négatif, il faudrait échanger les expressions (26) de x et de Xq et tenir compte que Ton a, pour ce cas,

On peut aussi passer du cas précédent à celui-ci par l'échange des périodes.

Soient (i>2 et w'^, liés par la relation (24)» et les x déterminés comme on vient de le voir. Posons

en désignant parp la fonction elliptique où g2 = o et où le second invariant est ^3, en sorte que p{iu) = — pu (t. T, p. 82). Les arguments vv et Wy des racines x, Xq^ Xy, relatives à ce cas, étant caractérisés comme précédemment,

iVo = ^{û2y «^7=7(^2 -f- vôJa),

on a, tout d'abord,

ïv = — iwf), wq— ii^\ ^ = — Xqj Xq = — X,

Pour les autres arguments, on a

pourvu que les deux entiers [jl, v soient liés par la condition

fjLv == — I (mocl7),

ce qui donne les cas suivants :

(Jl, v = i,6; . fx, v = 2, 3; |a, v = 4, 5.

En d'autres termes, dans le cas où ^3 est négatif, après avoir échangé x et Xq dans les égalités (26), il faut aussi, dans les rela-