CHAPITRE II

lions (27), faire le même échange et y échanger aussi les indices I et 6, 2 et 3, 4 et 5, ce qui donne

X^= Xi,= Oy X^= %'^Xq, X^= OLX, Xs= OL^Xj Xi= (XXq,

Nous étudierons ultérieurement les racines x comme des fonctions de gzy en laissant ^2 constant. Ce que Ton vient de dire pour le cas ^2 = s'appliquera alors, sans modification, au cas g^ z= 00, comme l'homogénéité le rend évident : on aura deux racines infiniment petites, X2 et ^5 ou œ^ et ^^4, suivant que g^ sera

positif ou négatif; les autres racines seront infiniment grandes, du

même ordre que s/gi-

Examinons, dans ce cas particulier, «•2=0, les diverses valeurs de t.

En correspondance avec les deux racines œ qui sont nulles, la dernière formule (16) donne t = z -h 2g:), c'est-à-dire, d'après (22),

(3o) t = ï-\(9d-. iV3)^3.

Prenons maintenant une autre racine suivant l'égalité (3i) x^= 21^3(9 =h '2 /il).

Nous en concluons, suivant la première formule (16),

xy= 3(r4e-3v/2i)^3, tandis que Téquation (i3) donne aussi

Par la seconde formule (iG), nous avons alors

En substituant dans la dernière égalité (16), on obtient (32) ^=5(3^1/^)^3.

Les trois racines x que la formule (3i) donne pour chacun des deux signes dz fournissent, on le voit, une seule valeur de t. Ainsi il y a deux valeurs simples de /, que fournit l'égalité (3o), et

deux valeurs triples, assignées par la formule (32). L'équation en t se réduit donc à celle-ci :

(33) {lt^-'^^lg'.t-^'^lgl)(t^-^gzt-i']glf = o.

En développant et mettant / = sg^, on trouve

résultat remarquable à cause des trois termes qui manquent , et dont nous nous servirons plus loin.

Résolution du problème de la division par 7.

Pour chaque racine x de l'équation (i3) on a, d'après les formules (16), jK) ^j ^ sans ambiguïté. A l'égard de y, nous avons examiné le cas particulier qui semblait d'abord mettre les formules en défaut; quant à 5, il semble aussi se trouver une difficulté pour le cas où une racine x est nulle : ceci se produit quand g^ est nul. Ce dernier cas, nous venons de l'examiner. Revenons au cas général.

Ayant x^ y^ 5, on aura les trois inconnues correspondantes a^ fe, c par la résolution de l'équation, du troisième degré,

a^—xa^->rya — ^ = o.

Mais la connaissance de t apporte une simplification. Suivant la méthode de Lagrange, soient