I -f- eV
On en conclut, suivant les notations employées précédemment,
53= 2a3|6ûf6c + 3£a + 3E2i/'= 5:a3-i- 6z— |(z/ -+- a')-H|tV3(«/ — m'),
De là on tire s par l'extraction d'une racine cubique, seule irrationnelle nouvelle. Prenant ensuite
CBAPITRE II. 6l
on a
ss' = a^-\- b^-i- c^ — ab — bc — ca — x- — 3y;
s' est donc connu au moven de 5; puis a, 6, c sont donnés par les
égalités
ib = X -^ t'^s -^ is\ 3 c =z X -h z s -h z'^s'.
11 convient d'observer que le changement de l en — i, qui échange s et 5' ainsi que s et s-, n'apporte aucune altération dans a, 6, c. Si l'on échange, dans le choix de 5, les diverses racines cubiques de 5^, il y a, au contraire, des changements dans a^ b, c. Remplaçant s par ts ou e^ Sy on doit en même temps remplacer s' par e^y ou e^' : de la sorte, a, b elc sont respectivement remplacés par c, a et b ou par b, c el a; mais Tordre circulaire dans lequel se succèdent les lettres a, 6, c n'est pas altéré, ce qui est conforme à l'analyse employée.
Les trois quantités a, 6, c sont égales aux valeurs de la fonction p pour les multiples d'un seul et même argument — ; 20) désigne, d'ailleurs, une période quelconque. Les valeurs de la fonction p' s'en concluent, mais il n'est point nécessaire de recourir à l'expression
Revenant, en effet, à Téquation (2), nous avons
^^a^— gia — gz =Xa-4- [x = \/oa,
X = 2 \l a -r b -r- c = 1 SJXy
1 X|jL = (aô -+- 6c + ca H- {-^2) = — (/ -H \gi),
et nous en concluons
[ yf^= -i:^{.iax—y — \g^),
(35) i /^= -j-\'ibx—Y—\g^).
yx
v/ô7 = -—{icx —y — \gt)>
62 TROISIÈME PARTIK. — FRAGMENTS.
Si nous prenons ainsi une seule et même détermination de yjx
dans les trois formules, alors a et y/ 'fa, b et s/'-fb^ c et y/^pc sont les valeurs des fonctions p et p pour trois arguments dont la
, . j , 2 0) ^co ^ 6u)
somme est une période, par exemple — > — et ou encore
Relations entre les huit racines.
Il y a place ici pour une analyse toute semblable à celle du Chapitre I (p. lo). Soient x et Xq deux racines; on peut trouver une formule algébrique donnant à la fois toutes les autres racines en fonction de x et de Xq. En effet, a, 6, c répondant à j; et «o» ^oj ^o répondant à ^07 posons
' a -i- ao -f- «1 = - "-' ^'— ^ ,
1\ a — On /
4 \ c — Co o • ^ '2(0 4w 8(0 2(o' 4^«>' 8(0' ,
i50ient -, — , — et — > — , — les arguments qui corres-
pondent à a et y/?^? etc.; d'après le théorème d'addition, «< , &< , Cx sont les valeurs de la fonction p pour les arguments ih
zt 2 ) ± 4 • ii-n ajoutant, membre a membre, ces
dernières égalités et employant les résultats (35), on obtient
I ^ (0 a H- (0 «0 a? -h iTo -+- iTi = - >
Ainsi, X\ est exprimé effectivement en fonction de x et de x^^ par l'intermédiaire de a, 6, c, «o? ^05 ^o*
En changeant le signe de y/^, on change la racine X\. En permutant circulairement a, 6, c, on obtient aussi trois déterminations de cette racine, distinctes entre elles. Ainsi, par ces deux
