CHAPITRE II
considérée, invariable par les permutations, s'exprime donc rationnellement par x^ Xq et les coefficients de l'équation (i5). D'après cette même équation, la racine carrée du produit de toutes
les racines x est ± — g\ iy/y» On peut donc conclure que la ra~
cine carrée du produit de deux racines s^ exprime rationnelle' ment en fonction de ces deux racines, de g2 et de g^, sauj le
seul facteur irrationnel iy^y»
Cas où le discriminant est évanouissant.
Soient ff2=^^^^'') ^3= Sy^, en sorte que le discriminant soit nul. Une racine x de Téquation (1 5) est égale à 2 1 y, et nous allons tout d'abord porter notre attention sur cette racine. Supposons .i? = 2 1 Y, on trouve
14^2- 1^2= 9,ii.3Y', 3a7^+.1^2^^-H>.i^3^-H îi^l =211.33.117*;
on en conclut, par les formules (lO),
op = 2iy, j= 32.1172, z = ^^-(^.
L'équation, dont les racines sont a, 6, c, et qui est ainsi
peut encore être mise sous une forme simple d'après les relations (35); on a, en effet,
(4^) ça = 4a'— i2Y*a— 872 = 4(aH- Y)2(a — 2 y)
et, d'après (35), en mettant, pour ^ ^t r, leurs valeurs ci-dessus,
/©a = 2(a ■+- y)\/« — '2 Y = '}.yj'iv^{a — Vï)- L'équation (44) peut donc s'écrire ainsi
ni
Si Ton pose
Y ~~ 2 — X ' on obtient la transformée
*(X) = (2X-i-3)2(X — 2)-h7(X-f-2) = 4(X3-hX2— aX— i) = o,
où l'on reconnaît l'équation dont les racines sont comprises dans la formule
A = 2 cos •
De là, conformément à la loi de dégénérescence (t. I, p. a-j),
abc 3
sin
Nous en déduisons aussi ces conséquences, que nous allons employer tout à rheure,
'oa a — 2Y i^ irrnz — 1 = 2 ' — I = - X = cos j
\ (a-hY)2 a + Y /Sy 7
11 n'est pas indifférent d'attribuer au nombre m des valeurs entières dans un ordre quelconque en correspondance avec a, 6, c.
Suivant la loi de dégénérescence, les trois angles — sont proportionnels aux trois arguments elliptiques de a, fe, c, on devra donc faire correspondre à a, 6, c dans cet ordre même, les nombres I, 2, 4) par exemple.
Si, au lieu de le supposer nul, on considère le discriminant comme infiniment petit, on posera
(46) ^2 = i2Y^ ^3=8y2— e, e étant infiniment petit, en sorte qu'on aura
(47) ^ = ^2 — '^'IS'l = 27£(i6y3— 0-
Le premier membre de l'équation (i5), pour s = 0, se réduit,
on l'a vu, à
CHAPITIIE II. 67
On le complélera par les termes provenant de ^3, et que la forme (i5) met en évidence :
1 X [:c*+ 2.32^2^2-^7(87-'— ÎÊ)a7 -H Î-35y*] = o.
On pourrait, au moyen de celle équation, trouver les termes successifs du développement de la racine suivant les puissances ascendantes de e,
et en déduire ceux de <2, 6, c, de '^<7, etc. Tous ces développements contiennent seulement les puissances de £ à exposants entiers, comme il est évident.
Nous allons maintenant considérer les autres racines de l'équation (48). En posant
on obtient immédiatement
On voit que les développements de ces racines procèdent suivant les puissances de £ à exposants fractionnaires.
Par les équations (16) on trouve, pour y et z, les valeurs limites Sy- et — Y^, en sorte que la limite de Téquation
(5i) a^ — xa^-hya — ^ =0
est (a + y)^= ^ • l®s trois quantités a, 6, c ont, toutes trois, — y pour limite. Afin de les distinguer entre elles, il va être nécessaire de calculer y jusqu'aux termes du troisième ordre, inclusivement, en a. Dans ce calcul, e, qui est du septième ordre, sera considéré comme nul. •
Pour calculer jK> le plus court est d'employer l'équation (i3), en l'écrivant ainsi :
On en déduit, eu égard au degré d'approximation demandé,
I , I (4xî-3^,)'
/ -ri i a
7-h|^î=^6Y2 — ^.ya — H =— 27^— R, La seconde formule (16) donne alors
el réquation (5i) prend la forme
(an-Y)^— a(«-HY)^— R(aH-Y) — r— =0.
Les parties principales des trois racines a + y sont a, , — -— ; ,
c'est-à-dire a, > H- — - --• Il reste à savoir dans quel ordre
ces quantités correspondent à a, 6, c, ce que Ton pourrait décider par le signe de /, en calculant t par la troisième formule (16). Mais il faudrait alors calculer un terme de plus dans^ et nous ne reproduirons pas ici ce calcul, auquel on peut suppléer comme il suit.
Supposons Y et e réels, en sorte que les invariants soient réels. Pour 2(0 et 2 0)', prenons la période réelle et la période purement imaginaire, en sorte que les deux racines x et Xq soient réelles, les autres imaginaires. Fixons les idées en supposant ^3 positif, c'est-à-dire Y>o. Comme on a ^>^oj c'est x qui se réduit à 217, tandis que Xq se réduit à — Sy quand e est nul. Pour s infiniment petit, on a o^o =^ — 3 y 4- ao, si l'on suppose
cette racine étant prise dans son acception arithmétique. Chaque autre racine s'obtiendra par la formule x = — Sy-j-a, où l'on aura
2miTZ
