TC

a7i = — 3YH-ao^ ^ •

Les relations (39)à(43) donnent ensuite, pour chaque racine ^,,, le résultat suivant, relatif au cas où A est infiniment petit positif, et gz positif :

Supposons, en second lieu, y > o, s < o, avec les mêmes suppositions sur les arguments et les nombres m, La quantité y/3y doit être encore prise avec sa détermination arithmétique. On a maintenant, suivant l'ordre (II),

/ iniiz

y/cpco = 2/— 3Yao,

qui doit êlre le produit de i par un nombre positif. Comme a© est

positif, -ry/ — 3y doit encore êlre positif et la relation (55) a lieu.

Ce n'est plus, toutefois, Tégalité (54) qui a lieu, mais bien l'analogue où les lettres c remplacent les lettres a. On a donc

iTi = — 3 Y H- «0 6 "^ •

Les résultats fournis parles autres égalités analogues se résument dans la formule

%niTZ

propre au cas où Ton a ^3 >> o, le discriminant étant infiniment petit négatif.

On pourrait faire de pareils raisonnements pour les deux cas où y est négatif; mais, ainsi que nous l'avons déjà montré, on passe du cas y^o au cas Y<;o, en échangeant x et Xq et permutant aussi les indices i et 6, 2 et 3, 4 et 5. Il n'est donc pas besoin d'y revenir.

Discriminant de la résolvante.

Nous avons rencontré trois cas où l'équation résolvante (i5) a des racines multiples: le cas A = o, le cas ^2= o, enfin celui-ci M = o,

Chacun des trois facteurs g2j ^î M. figure donc dans le discriminant de l'équation. L'exposant de chacun d'eux est facile à trouver.

Quand g2 est infiniment petit, nous avons reconnu l'existence de deux racines infiniment petites, dont la diff(§rence est du même ordre que g:,. Le carré de leur différence et, par suite, le discriminant contiennent donc le facteur gl.

Quand M est infiniment petit, il y a deux racines dont la diû'érence est du même ordre que M. De là, le facteur M^.

Enfin, pour A infiniment petit, nous venons de voir sept racines dont les différences mutuelles sont du même ordre que a. Les

CUAPITRB H. 73

2 1 différences de ces racines donnent, par leur produit, le facteur a2*5 le carré de ce produit contient le facteur a^^^ Mais a est de l'ordre 4 relativement à Tinfiniment petit s et A est du même ordre que s. Le discriminant contient donc le facteur A°.

Ces trois facteurs sont, ensemble, un produit de degré 56 ; c'est précisément le double du nombre des différences des huit racines, deux à deux. Il en résulte que le discriminant n'a point d'autres facteurs; on n'a plus qu'à trouver un coefficient numérique A', en prenant kglM^\^ pour ce discriminant. Revenant au cas où A est évanouissant, on trouve aisément A", comme il suit : la racine 21 y donne sept différences égales à 24 y; les autres racines, deux à deux, donnent, pour différences, la quantité a, multipliée par les diverses différences des racines de Téquation binôme £^==i. Le discriminanfest donc, en ce cas, égal à (24y)*'*a^^j multiplié parle discriminant de l'équation binôme. Ce dernier- est — 7'. Mettant, pour a, son expression (5o), on a donc

pour valeur du discriminant. D'autre part, son expression su[)posée devient

La comparaison fournit A", en sorte que le discriminant de l'équation résolvante (i5) est égala — 7^ i^,i^^ g\M.^ ^^] c'est un carré, sauf le facteur — 7. La racine carrée du discriminant

est donc rationnelle et entière, sauf le facteur is/^j'

Pour reconnaître que ce discriminant n'a point d'autre facteur, nous nous sommes fondé sur son degré. On peut aussi le prouver autrement, d'après la formule (16). Les cas où s'évanouissent x ou \^x^ — \g2 sont, suivant ces formules, les seuls où j^ et ^ ne soient pas déterminées sans ambiguïté. Si donc il se trouvait un autre cas de racine double ^r, les valeurs Ae y el z seraient doubles aussi et deux systèmes (a, 6, c), (a', b\ c') seraient en coïncidence, circonstance impossible si les fonctions elliptiques ne dégénèrent point. Outre ces deux cas, il n'y a donc de racine double que si A est évanouissant.

Seconde équation du huitième degré pour la division

des périodes par 7.

De même qu'au Chapitre précédent, nous allons calculer une autre résolvante, celle dont l'inconnue est t. Le calcul direct parles formules (i 6) serait trop pénible 5 les résultats précédents permettent d'y suppléer. L'inconnue t, fonction algébrique rationnelle de X est, comme ;r , racine d'une équation du huitième degré. Les formules (16) montrent que t ne devient jamais infinie tant que g2 et g^ restent finis; les seuls cas où, de prime abord, t semble devoir être infinie, sont, en effet, ceux où s'évanouit soit^, soit i4^^ — 1^2^ niais, on l'a vu, t n'y devient pas infinie. Il est donc clair que, dans l'équation en f, le premier coefficient étant réduit à une constante, tous les coefficients sont des fonctions entières de ^o et ^3. De plus, en vertu de l'homogénéité, comme t est du degré 3, le coefficient de t^ est du degré 3(8 — m), g2 et g^ étant comptés comme ayant le degré 2 et 3.

Nous venons de reconnaître que, pour A = o, sept racines t s'évanouissent. Ainsi A est en facteur dans tous les coefficients à partir du troisième. Dans le coefficient de t^j supposons que A entre en facteur avec Texposant /i; on a, en ce cas,

Supposons A infiniment petit. Nous avons alors sept valeurs de t infiniment petites, dont la formule (53) donne les parties principales : elles sont de l'ordre 4-, A étant censé du premier ordre.

Le ternie en t' existe certainement, puisqu'une racine t subsiste, diflerente de zéro quand A s'évanouit. En substituant à ^ sa partie principale, on obtient, pour ce terme, la valeur limite de cette racine changée de signe. L'existence des sept racines, dont les parties principales sont racines d'une équation binôme, exige que, parla même substitution, la partie principale de chaque terme devienne infiniment petite d'ordre supérieur à 4> sauf pour le dernier, où l'ordre doit être justement égal à 4- Cette dernière condition prouve que le terme indépendant de t contient le facteur A% auquel il se réduit, sauf un coefficient numérique.