partie principale du discriminant, ^ (a^.S^y's)**. Diaprés les

égalités (46, 47)? ceci concorde avec la partie principale de — - — '-j^ ^2' ^^ * • ^^ conclut de là que, dans le cas général, le discriminant est précisément égal à cette dernière quanti té, sauf remplacement de gl' par un facteur se réduisant à g!,'^ quand A s'évanouit . Mais, comme on va le voir en revenant au cas ff2 = o? le discriminant contient le facteur »•*', en sorte que Ton peut conclure, pour le discriminant de l'équation en ^, la valeur précise

Remplaçant, dans Téquation (09), A par gl — ^7^3» on pourra ordonner le premier membre suivant les puissances ascendantes et entières de ^2* Le premier terme, indépendant de ^2? coïncidera avec le premier membre (33), obtenu dans le cas g2 = o. Les trois racines, qui se réduisent à une seule et même racine triple pour g2 = o, ont donc des différences mutuelles du premier ordre, au moins, relativement à ^2» Le produit des carrés de ces différences contient donc le facteur g^. Mais il j a deux groupes de trois racines se réduisant à deux racines triples. De là le facteur ^2^ dans le discriminant. C'est ce qu'on avait annoncé.

Relation entre les inconnues des deux résolvantes.

Par les égalités (16) on peut exprimer t en fonction de x\ mais l'expression inverse de x en fonction de t offre plus d'intérêt. Soit ^{t) le premier membre (Sg) de l'équation en t. On peut mettre l'expression de x sous la forme

où W est un polynôme entier en t, de degré égal au plus à 6. En effet, le degré de W peut être abaissé au-dessous de 8 par le moyen de l'équation4> = o. Mais, la somme des racines x étant nulle, le théorème d'Euler sur la décomposition des fractions rationnelles montre que le degré de W est alors moindre que 7.

La particularité qui s'offre d'abord, c'est que les coefficients de

CHAPITRB 11. 77

W sont des fonctions entières de g^ et g^. Voici comment on peut le prouver. Soient ^i, ^25 • • • 'es diverses racines t] considérons les polynômes, du septième degré en ^,

On a cette expression de ^*(0î

jTj, Xoj . • . étant les racines x qui correspondent respeclivement à f|, ^2î • • •• Effectivement, ^*(^)> suivant cette formule, est un polynôme du sixième degré qui, pour t=toi^ se réduit à ^«^«(^a)iNIais ^a(^a) = ^'(^a); donc ^(0 ^st bien le poljnôme demandé. Si maintenant Ton ordonne ^"(0 P^** rapport à i, on voit que ses coefficients sont linéairement composés avec ceux de 4>, d'une part, et avec des sommes symétriques ^4 i^' + ^2^2 + • • • • Une telle somme, absolument comme les coefficients de 0, est une fonction entière de g2 et g^. En effet, comme on l'a dit pour f, et comme on peut le répéter encore, les quantités ^a'a ^e sont en aucun cas infinies, quand g2 et ^3 restent finies. L'équation du huitième degré, qui a ces quantités pour racines, a donc pour coefficients des fonctions entières, quand le premier coefficient est réduit lui-même à être numérique. La somme de ces quantités est ainsi une fonction entière.

Par exemple, la somme S^a^a,? entière et du quatrième degré, reproduit gl^ sauf un coefficient numérique; la somme S^a^a? ^e même, est proportionnelle ^ glg^* Les coefficients numériques se trouvent aisément au moyen de la racine t, qui n'est pas nulle avec A ; on a, pour A = o,

xt= 26. 3^ Y* = 22.3V2^

\ 2^a^a= (6^2)^ 2^a^a= ^S'^lë'i,

78 TROISIÈME PAUTIR. — FRAGMENTS.

Par les mêmes considérations, on voit de suite que la quantité

est divisible par A.

Revenons à W(0 que l'on peut former comme il suit. Nous avons

Se souvenant que Sj^a^st nul et observant les relations (G i, 62), on trouve, de suite,

^\n = 7(6^2)2 /«-H ^gl A^*-+-. . .;

le terme en ^^ manque, et tous les autres, sauf le premier, contiennent le facteur A, si toutefois ils existent; c'est ce qu'il faut examiner.

Soit n l'exposant de A dans le coefficient de t^. En supposant A évanouissant et prenant pour t une des racines infiniment petites, on voit que ce terme devient infiniment petit de l'ordre n-\- \in.

Deux semblables termes donnent ainsi des infiniment petits d'ordres différents, /i-hy/zi, n! -^\m'\ car nieiin' sont moindres que 7 et ^(m — m') ne peut être entier, quand m et m' diffèrent. Gela étant, la partie principale de ^\t) a, pour ordre, le plus petit des nombres n-\-\m. D'autre part, le dénominateur <ï>'(^), égal au produit des différences de la racine considérée avec les autres racines, contient six facteurs de l'ordre 4 ; il est donc de l'ordre^. Comme x a une valeur finie — 3 y, le numérateur doit être aussi de l'ordre -,* et l'on a, pour chaque terme de ^ {t) contenant le facteur \"t^^y la condition

Mais, à cause de l'homogénéi té, 6 /z -f- 3 m, qui est le degré de A'' t^^ doit être, au plus, égal à 22, degré de ^'(^), quand ^2? gz, t sont considérés comme étant des degrés 2,3,3. D'ailleurs, 6/2 -h 3 m est divisible par 3, donc au plus égal à 21; ainsi