CHAPITRE

A ces deux inégalités satisfait d'abord le premier terme t^; les autres combinaisons qui y satisfont encore sont les suivantes A^^, A^t^\ à^t. Mais leur degré commun est 21 et elles ne peuvent être complétées par un facteur entier en g2 et ^3. Seul donc, le premier terme subsiste, et l'on a

(63) ^^TlMllll.

On a, suivant (69),

Faisant l'opération D (t. I, p, 3oo), en considérant, dans D4>, t comme une constante, on a, pour chaque racine ^,

Il en résulte que la formule (63) peut s'écrire ainsi

elle est analogue à la formule (11), trouvée déjà dans la division par 5 et nous en verrons plus loin la généralisation. On peut, comme on l'a fait dans le Chapitre précédent, retrouver, par cette formule, l'expression (60) du discriminant de l'équation en t.

Nous allons appliquer cette formule au cas où g2 est infiniment petit.

Quand g2 est nul, nous avons trouvé (en supposant ^>:, I>o)

(65) .r2= 0^5=0, Xi = a^ or, ^3= oltq, 3^4= a^^ro, 0-0= ax,

a étant une racine cubique de l'unité; x et Xq sont donnés par les formules (26). Nous en avons déduit (3o, 82)

/ = ^1=^6 = 1(3 -4-/27)^3, ^0=^3=^4 = 1(3 — v/'Ii")^3.

Nous avons observé déjà (p. "jô) que les différences mutuelles de ^, ti^ t^ ou ùq, ^3, ^4 sont du premier ordre en g2j quand «^2? au lieu d'être nul, est infiniment petit. La formule (64) va donner

8o TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

facileraent ces différences. Soit, en supposant Tindice [x égal à o,3 ou 4,

Se rappelant qu'on a D = i2^3 \- -j ffl ^ — ' on en déduit.

(|uand g2 est infiniment petit,

puis, suivant la relation (^4)

L'inconnue \ est déterminée par là. Jl suffira d'écrire le résultat sous la forme

pour que celte dernière formule s'applique aux six quantités t'^ t\^ 'o» ^0» 'sî 'i> ^"^ nous affectons d'accents pour les distinguer des quantités correspondantes où g^ est supposé nul. Il est entendu d'ailleurs que les ^ et .r doivent être affectés d'un seul et même indice.

Cette formule ne s'applique point à t\, et t\^ dont on peut aussi trouver, par la même méthode, les seconds termes. D'après l'équation (59) en ^, il est visible que t',^ — ^2 et t'^ — t^ sont du troisième ordre en g^^, et l'on trouve

Cas où gz est nul.

Il est tout particulièrement intéressant d'examiner les relations précédentes entre les racines dans le cas où l'invariant ^3 est nul.

Pour faire disparaître les dénominateurs dans l'équation résolvante (i5), nous prendrons alors ^2=4- Si l'on pose