CHAPITRE II. 8l

la résolvante s'abaisse au quatrième degré et s'écrit ainsi : (66) 5*— 2*. 3. 7$3 2. 33.5.75»— 22.7.235 — 3^.7 = o.

Le théorème d'homogénéilé (t. I, p. 82), pour le cas g^=io,

donne

p{iu)= -puj p'{iu)=z ip'u.

Si l'on y joint la propriété consistant en ce que deux périodes ont

un rapport égal à i (t. I, p. 64), on sait d'avance que, a et y/cpa étant les valeurs de p et de p' pour une partie aliquote de période,

il en est autant pour — a et ly/cpa. C'est aussi ce qu'on retrouve par les formules (16) : gz étant nul, le changement de ^ en — x entraîne celui de 2 en — ^, sans altération pour j^.

Dans les formules du paragraphe précédent, qui servent à déduire six racines de deux d'entre elles, nous allons supposer les deux racines initiales x et Xq égales et de signes opposés, répondant ainsi à une seule racine ? de l'équation (66). Nous supposerons, en outre, ^Xq = — iy/.r, ce qui donne

a-i-ao=o, b -h bo = o, c -\- Co= o,

v/cpao= i\f^t V^«?^o= ^V?^) v/^Co= i\l^^c.

Par les égalités (36, 38), on a

2av/«pai = — [a-h ai-T- i(^a — «j)] v^^a,

avec les analogues, obtenues par permutation des lettres.

Les égalités suivantes (89) proviennent d'un changement de

signe sur sjx\ mais, y/^o devant rester inaltéré, il faut ici changer

i en — /, pour respecter l'hypothèse ^x^ -- — ly/^. On a donc

2a/cpa6= \a -H a^ — i(^a — «e)] Z?^ = — ^\^ -r- ai 4- i{a — ai)] /«pa,

ai4-a6=o, v^cpa6= iV?^i*

Les formules (io) donnent

( — (a -+- 6)v^cpa2= (a -h a^)\/^b -+- (6 — a2)i^^ci-

Les suivantes, après une permutation circulaire de toutes les lettres, donnent aussi

« — 0-1-63= 7 ( '^-^ T-^— ) = — (6 - aH-a2), 63 = — «sj

— (a -h 6)/cp63= («2 — b)yjf^a --h Ca -i- ai)i^(Db, (69) a2-+-63— o, v/o63= iVcpaa,

à quoi il faut ajouter les relations analogues que fournit la permutation circulaire remplaçant a^ 6, c par 6, c, a ou c, a, 6.

Les formules (4^) et (4*^) dérivent des précédentes, (4o) ^^ (4i) par le changement du signe de y;r, lequel doit ici être accompagné du changement de i en — «, comme on l'a dit précédemment; on a donc, semblablement,

(70} «5-1-64=0, /?«6= ïV?^4,

avec les relations qui en découlent par la permutation circulaire. Nous connaissons maintenant la correspondance des huit racines X avec les quatre racines $, savoir :

X2 = — x^= yj\^.

D'après l'égalité (67) et ses analogues, on a

C'est une fonction symétrique en a, 6, c, une fonction rationnelle de X, par conséquent. C'est, de plus, une fonction impaire, puisqu'on a ici

ça = ia{a^ — 1).