CHAPITRE II

- On obtiendrait Texpression explicite de Xi par un calcul direct, en prenant d'abord

a^i = — i ( a H- ô -h c — - — j — - ) = — ^-- ( [ — ^ ) 2\ abc) 1 \ xz I

et substituant les expressions de y et de xz^ que donnent les égalités (16). Mais nous suivrons une autre voie, en retenant cette conséquence que, en élevant au carré, on a

y< désignant une fonction rationnelle. Cette égalité traduit une substitution qui conduit de la racine ^ à la racine \^,

Les mêmes circonstances se présentent dans les formules (6*8).

En développant le carré de y/cp6 — i^'oa et utilisant les équations (35), on obtient une fonction rationnelle. Par l'addition de trois égalités semblables, nous aurons Xi en fonction rationnelle de x^y^ ^, «, 6, c, et cette fonction sera symétrique en a, 6, c.

Elle est donc, finalement, rationnelle en ^ ; de plus, elle est impaire et Ton en conclura

/o désignant une nouvelle fonction rationnelle. C'est une seconde substitution, conduisant de la racine $ à la racine ^o* Cette substitution est imaginaire. Il est clair enfin que la substitution conjuguée conduit de Ç à $3,

Pour se rendre compte de l'effet de ces substitutions, appliquées aux autres racines, il suffit de considérer les arguments elliptiques <jui correspondent à ces racines.

Soient — et — les arguments qui correspondent à x ^\ Xq,

Ces deux arguments, ici équivalents, correspondent à Ç. En même

lemps, les deux arguments et correspondent

1 2 tO -4- 4 W , , I ,

n peut prendre pour 1 argument de x^^ et, par conse-

84 TROISIÈME PàRTIB. — FRAGMENTS.

quent, de ^2» La seconde forme, équivalente ici, n'est point } argument de «3, mais bien, suivant l'égalité (69),

> argument de 63.

Semblablement, on peut prendre pour argument de ^3.

C'est l'argument de a^. Suivant l'analogue de l'égalité (70), on a

et la seconde forme de l'argument de ^3 est

On retrouve ces mêmes résultats en supposant iù'= ito. On a, de la sorte, les égalités

2 10' -h 12 OJ .20)'-+- 20)

8co'-+-4oa> .20)' -+-810 i =0 0),

qui mettent en relief l'équivalence des deux arguments attribués, ad libitum, à chacune des racines Ç, Ç|, ^2, Ç3.

JT /t\ t J' ^ 2W' 2C0

/i(ç) = Çi> d argument ■ h —,

/. ,i.s ^ 2 0)' 8co /3(?) = 53, » -—H

Avec les arguments et , attribues à a» et ««,

elles donneront, de même,

/i(Çi) d argument i =2 ;