n == II (mod7)j n . ^ — 2 (mod

En même temps, n doit être diviseur du dernier coefficient i I (65 — II) =^ 2, 33. II . A ces conditions satisfont seulement les nombres 12, 33, 54, dont le second est effectivement, et seul, racine de l'équation. Voici donc la racine cherchée

et l'on vérifie sans peine que l'équation (75) se décompose ainsi :

On a ensuite

|Z2= Y -h 2.32.7.29 = 23.7(65 — n)= -iKy

et les deux équations du second degré (74) deviennent

Nous les résoudrons plus loin. Il suffit, pour le moment, de savoir que l'une de ces équations, celle qui correspond au signe inférieur, a ses racines, Ç et Ç< , réelles et de signes opposés, tandis que l'autre a ses racines imaginaires, Ç2 et Ç3.

Distinction des diverses racines entre elles,

dans le cas ^3 = 0.

Prenons, pour acj et 2(0', la période réelle et la période purement imaginaire. Nous avons, en ce cas,

X est réel et positif : c'est la racine carrée positive de la quantité positive Ç. Les trois quantités cpa, cpè, (pc sont positives et, d'après l'égalité (72), -4 est réel et négatif. Soit \^ la seconde racine réelle : elle est négative ; on aura

= — a?! = /çi = i >J— %x ,

y/ — \^ étant prise positivement.

Pour les autres racines, les formules sont plus compliquées, et nous allons d'abord transformer l'expression de a2. Additionnons, entre eux, les deux arguments \(yl-\-tù) et |(cj' — w) : pour le

premier, les fonctions p et jd' ont les valeurs by et \/<p6< ; pour le

second, — C\ et i\I^C\, La somme est égale à

= -> .2(10 -+. lio));

c'est, au signe près, l'argument de «2. On a donc

(79) ^^,-Ci-4-a,= ifv5Iiziiv5£ÏV-