a — 6) (aô -f- n (6 -h c)* (c -h a

on trouve aisément l'expression

montrant que U est une quantité positive, suivant les inégalités («jS). Mais, à l'égard de V, il faut y regarder plus attentivement. Transformons d'abord U; posons

(a-^b)^(b~^cy(c-^a)^ (â~— ~6)(6— c)(c — a) "~ et concluons

PU ~ y^ -{- xz -^ x^ -i- y.

Chassons z d'après la relation (i i), puisj^^ par la relation (i3) et enfin j^ par la première égalité (i6); nous obtenons ainsi

ii{yx^ — 5) PU = 5x^-hî5ix'' — '25072-4-117.

En mettant ai, 6^ Ci au lieu de a, è, c; Çi au lieu de x'^, nous aurons donc

(81) — 12(5 — 7|,)PiVj-=5$î-+-i5i$f — 25Î1-I- 117.

. La quantité — ^,, dont nous aurons tout à l'heure l'expression explicite, est comprise en 18 et 19. Le second membre (81) change de signe une seule fois quand — Çi va de zéro à l'infini positif; il est encore positif pour — ?i = 20. Il est donc ici positif. D'autre part, d'après la relation (80), on a

(ai — bi)(bi — ci)(ci — ai )^ - /^i-i- ---\ (i-\- —\ (i-^ —V {a — b}{b — c){c — a) 8\ «^/ \ ^c/ \ ca/^

et les facteurs (a< -h èi)-, ... sont négatifs, en sorte que iP^ est négatif et, par conséquent, V est positif. Finalement, d'après les égalités (71) et U, V désignant deux quantités positives, on a