CHAPITRE II

Suivant les égalités (71), ^2 a sa partie imaginaire positive, 2ilW: ^^2 est celle des deux racines carrées où la partie imaginaire est positive aussi. Enfin y/Ça est la quantité conjuguée de ^^^2»

Formules relatives au cas ^3=0.

Résolvons l'équation du second degré (77), en observant que

Ton a

Il en résulte

et cette formule, si Ton y change lesigne dey/7 ^^ ^^ V^v/y? fournit les quatre quantités Ç. La séparant en quatre formules distinctes, avec l'acception arithmétique prise pour chaque radical, on aura, conformément à la définition précise des quatre racines,

. îi = 2i-i-8v/7-(i3-5/7)y/2v/7" ( 06)

On a vu plus haut que les x de divers indices s'expriment rationnellement en fonction de l'une de ces quantités. Il en résulte que

les divers produits y/^ii, \^k^2^ • • • s'expriment rationnellement en Ç et, par conséquent, contiepjient seulement les irrationnelles

y^7 et V2y/'7. C'est ce que nous allons retrouver aisément. On a d'abord

De la, conformément à l'équation (77)età nos conventions sur les acceptions de y/i<, y/i2, \/^z^

v/{?i = ^(f9-+-7/7)v/2v/7, '^^'^ Uf^=i(r9-7V^)VW7,

Cette dernière égalité est d'accord avec le dernier terme de l'équation (66), comme il convient.

En prenant les racines imaginaires Y de l'équation (76), on a

comme les formules (83) permettent de le vérifier. Des formules ci-dessus, on conclut

?ïj+^bH-2/îl7?7|^ = --i4-+-42/7i* = (7H-3iV7)S

puis, en extrayant les racines carrées,

/Ki + v/^Ç; = 7-3V7,

Voici comment sont ici fixés les signes dans l'extraction des racines carrées des seconds membres. D'après les égalités (71) et (82), on a

U et V étant positifs et, en outre, V > U, puisque U^ — V^,