CHAPITRE II

échanger y/Ç2 avec y/$3 et changer aussi le signe dey/^i, ce qui donne

M H- \^ûïi = ■^' (/7 - i) y/ V7.

Autre cas particulier.

Le cas gz = o, que l'on vient d'étudier, présente cette particularité que les racines x y sont, deux à deux, égales et de signes opposés. Cette même particularité, mais pour une seule paire de racines, a encore lieu si l'équation (i5) a une racine commune avec cette autre équation

comme on le voit immédiatement sur la forme (i 4). Résolvant cette dernière équation, on a, en faisant g2= 4?

On a, pour cette valeur de ^-,

Il en résulte, d'après l'équalion (i4)> (8/) ^^ -7.(^5.23^ ^.

En nous bornant au cas des invariants réels, nous devrons supposer g2 positif, sans quoi, d'après cette dernière égalité, gz serait imaginaire. Ainsi, g2 étant positif, nous avons ici des valeurs de ^3, telles que, pour chacune d'elles, il existe deux racines Xy

égales et de signes opposés ; elles sont purement imaginaires

fl

D'après l'égalité (87), on a

et A est positif ou négatif, suivant que l'on prend le signe supérieur ou le signe inférieur devant le dernier terme.

Les deux Tableaux ci-après font connaître, pour tous les cas où les invariants sont réels, les signes des parties réelles et des parties imaginaires des racines Xm* On suppose choisies, pour 2 o) et 2co', la période réelle et la période purement imaginaire : la racine ^, toujours réelle et positive, et la racine x^^ toujours réelle et négative, sont omises. On désigne par g\^ g\ et g"^ les valeurs particulières de g^ signalées précédemment (p. 53 et 93), savoir

La première ^3 est comprise entre les deux autres : elle est moindre que g'^\ car on a vu qu'elle fournit un discriminant positif, tandis que g\ donne uu discriminant négatif. Elle est plus grande que ^'3, comme on le voit immédiatement aussi par la comparaison des valeurs du discriminant, donnant lieu à l'inégalité