CHAPITRE II. I
que A""~* est seulement du degré 6(n — i). Le facteur qui subsiste est donc du degré /i(/i-}-i) — 6{n — i) = [^ — ^)(^ — 3)- C'est un polynôme entier en g2 et gz, que l'on peut décomposer ainsi
^^2^3 (^3— A^2 /^/(^3-- A^2 VjlY' • . .
Supposons infiniment petit un de ces facteurs, que nous désignerons par p.
Soit X la valeur limite, commune à plusieurs racines ^, au nombre de m, quand (3 s'évanouit. Prenons une de ces racines x et envisageons le développement de a: — X suivant les puissances ascendantes de p. Ce développement, comme on sait par une théorie classique, peut contenir des puissances, à exposants fractionnaires, de j3.
Soit m le plus petit commun dénominateur des exposants et soit posé p = p''". Le développement de ^ — X contient seulement des puissances de P', à exposants entiers ; pour chaque valeur de p, il y a m valeurs de j3' et autant de valeurs correspondantes de X — X : il y a donc m racines x représentées par le même développement.
En même temps, les autres fonctions symétriques x\ x'^, .. ., qui s'expriment rationnellement par g2^ g^ et x^ se développent aussi suivant les puissances ascendantes de j3', à exposants entiers et chacune d'elles présente m valeurs qui sont égales entre elles quand (3 s'évanouit. Parmi les n -{- 1 équations (88), il en est donc m qui coïncident entre elles pour p r-z o.
Mais, sauf le cas A = o, les ^{n- — i) valeurs de a, 6, ... sont toutes différentes.
Donc le nombre m est nécessairement égal à l'unité. Ainsi, pour chaque racine multiple X, d'ordre [jl, on a [jl développements de X — X, distincts entre eux, suivant les puissances ascendantes de (3, à exposants entiers. Dans le produit des carrés des différences des racines x^ (3 apparaît donc avec un exposant pair. De là cette conclusion, où l'on tient compte de ce que A'*~* est lui-même un carré, n étant impair : sauf le facteur
I06 TROISIÈMK PARTIE. — FRAGMENTS.
le discriminant de la résolvante est le carré d\in polynôme entier en g 2 et ^3, à coefficients comniensurables.
Dans ce dernier polynôme, on peut, a priori, reconnaître les facteurs g^ et g^.
Soit, en général, un polynôme entier en g^ et ^3, présentant l'homogénéité requise, c'est-à-dire homogène et du degré M, quand on affecte les degrés 2 et 3 à ^2 et ^3. Si ce degré M n'est pas multiple de 6, les facteurs g^ ou g^ existent comme il suit :
gty
(mod6)
gSj
gh
glgZ'
Ici l'on a M = | (n — ^)(/i — 3) et /i est premier. Voici donc les cas possibles :
(mod 12),
(mod G)
Ainsi, dans les cas suivants.
(95) < 71-^5, > (mod 12),
le discriminant contient les facteurs
gif gl
La racine double qui existe, dans l'un quelconque de ces cas, lorsque g2 ou g^ s'évanouit, est toujours égale à zéro. Soit d'abord g2 = o. L'équation en x ne contient plus que des termes de degré pair. Si une racine x est multiple, il en est autant de la racine — X, La première, comme on l'a vu plus haut, apporte à la racine carrée du discriminant un facteur g^, d'exposant entier.
