CHAPITRE II

La seconde apporte le même facteur. Si donc il existe une racine multiple différente de zéro, à cette racine et à son opposée répond un facteur gl^ dans la racine carrée du discriminant. Mais ce facteur, s'il existe, rentre dans la forme générale du polynôme en gl et gl^ qui, multiplié par ^3, fournit la racine carrée du discriminant pour les deux premiers cas (gS). Le facteur supplémentaire gti ne peut appartenir qu'à une racine multiple et nulle. On peut ajouter cette remarque : dans la résolvante, le dernier terme est de degré pair Ai-hi. Contenant le facteur ^3, il le contient nécessairement au carré. Ainsi, quand n a la forme /\n! -\-\ (ce sont les deux premiers cas ci-dessus), le dernier ternie de la résolvante contient le facteur g\^ comme on Ta vu pour /i =; 5.

Soit, en second lieu, «•2 = o. Les exposants de x^ dans les termes qui subsistent de la résolvante, sont en progression arithmétique de raison égale à 3. Ici (premier et troisième cas ci-dessus) /z a la forme 6/i'+ i ; le premier exposant est 6/i'-H 2, le dernier est 2. Il existe donc la racine double ^ = o. On peut ajouter la remarque suivante ; les racines x^ infiniment petites avec ^2î sont infiniment petites d'ordre entier. Le dernier terme de la résolvante, quand gi n'est pas nul, contient donc le facteur g^ avec un exposant supérieur à l'unité. Mais le degré de ce terme est 6/i'H- 2; donc, quand n a la forme 6'/z'+j, le dernier terme de la résolvante contient le facteur g\^^ comme on l'a vu pour /i = 7.

Ces deux remarques, appliquées au cas /zr=i3, par exemple, font connaître le facteur g\g\ dans le dernier terme de la résolvante ; ce dernier terme est ainsi connu complètement, son coefficient numérique étant donné par la forme symbolique (89). Ce dernier terme est ainsi

- 13. 6i*Yi* =- 13. 61* ('|-'y('^y=- 13.310^2^1.

Nous avons à examiner les relations qui lient, entre elles, les quantités a, 6, c, rf, ..., répondant à une même racine x. Ces relations, dans les cas /i = 5 et /i^-j, ont été trouvées par le théorème d'addition. Il est clair qu'on peut les trouver aussi par les formules de multiplication, en exprimant que 6, c, rf, ..., sont les valeurs de la fonction p pour les arguments doubles,

triples, etc. de l'argument correspondant à a. Ainsi, les quantités a, 6, c, <7, . . . sont rationnellement exprimables en fonction de l'une quelconque d'entre elles,

A ce sujet, la première question est de savoir comment a, ft, c, rf, ... s'échangent quand on met, à la place de a, une autre de ces quantités, fr, c, . . ., dans/i^/2^ f^i-, ....

Désignons par r une racine primitive du nombre premier /i, c'est-à-dire un entier tel que ses puissances i, /•, r^, ..., r"""^ soient, à des multiples près de ^, égales aux nombres i, 2, ..., {n — 1), dans un certain ordre. On sait, par les éléments de l'Arithmétique, qu'il existe de telles racines primitives. Parmi les puissances de r, celle qui a l'exposant |(/i — i) est égale à l'unité négative — i, quelle que soit la racine primitive r, en sorte que

les puissances i, r, r^, ..., r* reproduisent les nombres i,

2, ...,|(/i — i), aux signes près. Comme la fonction p est paire, le signe de son argument est indifférent, et l'on peut poser

lin-Z)

Chaque quantité se déduit de la précédente au moyen de la multiplication de l'argument par r et a se déduit aussi de la dernière, /, de la même manière, puisqu'on a

r^ B= — I (modn), == .

Tl est donc évident que les échanges entre a^ b^ c^ d, . , ,^ ainsi rangés, se font par vole de permutation circulaire.

Cet ordre de a, b, c^ d^ ... n'est pas unique : il change avec /•; mais nous n'examinerons pas comment.

Comme p{ru)y par la formule de multiplication, s'exprime en fonction rationnelle de jdw, b est une fonction rationnelle de a,

c est la même fonction de ^, Cette propriété, comme on le

sait, permet la résolution de l'équation (88) par radicaux; chacune des quantités a, bj , . . s'exprime explicitement par la somme