CHAPITRE II

de radicaux d'indice |(/i — i). C'est ce qu'on a vu dans le cas 71= 7. Ainsi, quand une racine x de V équation résolvante est connue, les quantités correspondantes a^ b^ c^ . . . sont exprimables par radicaux.

Quand on considère seulement a, 6, c, rf, ..., c'est-à-dire les valeurs de la fonction paire p, les signes des arguments sont indiflférents. Il faut, au contraire, les définir, quand on veut envisager les valeurs de p', avec les quantités \'(fa, \<fbj . . ., suivant la notation des Chapitres précédents,

Pour les nombres premiers n, de la forme n = /^n' — i (comme 7, il, 19, . ..), il convient de prendre les arguments précédents,

en alternant leurs signes; ce sera donc — , multiplié successive-

n ment par

I, — r, r2, — r3, ..., et /'2(«'-i).

De cette manière, on passe de chacun au suivant en le multipliant par — r et, par cette même multiplication, on passe du der-

nier au premier, puisque, on Ta déjà dit, r^ reproduit — i et que ( — i)^ est ici égal à — i . Soit alors

P(^")=/(pw)

la formule de multiplication par /'. On en déduit

p'(ru)= y,p'uf'(pu) et, par conséquent,

b =/(«), ^ob=— ^/'(a)/^.

En prenant semblablement les formules de multiplication par les divers nombres 1,2, . . , , ^(n — 1), on exprimera les quantités

^cpc, y/cp ûf, ... sous forme du produit de ycpa et de fonctions rationnelles de a. On en déduira

(96) ^(fa(fb,,.ol = F(a) (v/»«)^ = G(a) y/'fâ,

I lO TBOISifelE PABTIE. — FRAGMENTS.

et G(a » est une fonction rationnelle, puisque ^(n — 3) est un nombre pair. Le produit

(07 ) sa.cô.sc. . .5/= X-

symétrique par rapport aux racines de (88), est une fonction rationnelle de X. En permutant circulairement les lettres, on a, pour le cas n-=^ ^n' — i ,

(98; Grajv/?« = G(6)/f6... = /\,

où G et X désignent des fonctions rationnelles.

Pour les nombres premiers /?, de la forme ^n'-^\^ cette analyse ne peut être employée : quel que soit le choix des arguments, ils ne s'échangent point entre eux par voie de permutation circulaire. Nous allons le montrer.

Désignons par a, ^, . .., A des quantités, toutes égales à ±1, chacune avec un signe déterminé. Les arguments, de quelque manière qu'on les choisisse, seront entre eux comme les nombres i, 2, . . ., T,{n — i), multipliés respectivement para, p, . . ., X. Soient

\''ja, \'^b, ... pris avec les signes qui se rapportent au choix i,

2, . . ., \[n — 1). Pour le choix adopté, on devra prendre ayoa,

[3y '^/>, ..., Ay^'^/. Multiplions tous les arguments par un même nombre entier m. Soit r un des nombres 1,2, . . ., ^(/i — i). Le produit mr, aux multiples près de n, est égal, soit à r', soit à n — /•', /•' désignant un autre nombre de la même suite i, 2, . . .,

|(/i — i). La quantité c, qui se rapporte à l'argument • est rem-

n 'ir' iji

placée par une autre c', se rapportant à l'argument ; y ^^'oc

est remplacé par dzyy^pc', avec le signe plus ou moins, suivant que mr a la forme z*' ou la forme n — r' . Disons que yv?^ ^^^ remplacé par yi y y/(p c'.

S'il y a permutation circulaire pour le choix des arguments adoptés, les formules (98) ont lieu, sauf multiplication des premiers membres par a, p, . . . , ).. Il en résulte que les diverses quantités fiYv'fc' doivent reproduire les diverses quantités yy^yc, soit telles quelles, soit changées de signe, toutes à la fois; en