CHAPITRE II. JII

d'autres termes, on a Y^y^ey', la quantité ambiguë £ = db i étant la même pour chacun des nombres r considérés. 11 J a ^(/i — i) de ces derniers. Le produit des quantités y^ est donc

égal à e*

Tout ce raisonnement s'applique aux deux cas n= ^n' ± i ; c'est maintenant que les deux cas se distinguent. On sait, par les éléments de la théorie des nombres, qu'on peut choisir m, de telle sorte que le produit des quantités y^ soit, à volonté, H- i ou — i . C'est -h I, quand m est résidu quadratique de /z; c'est — i, quand

m est non-résidu. Or, si /i a la forme ^n' -\- i, e^ est toujours égal à -h I. L'hypothèse, en ce cas, est donc impossible et c'est ce qu'on voulait prouver.

Dans les deux cas n = ^nJ ± \y quand on a choisi, pour lui assigner la lettre initiale a, l'une des racines de Téquation (88)

et qu'en outre on a pris ad libitum le signe de y/ 'fa, les autres quantités b^c, . . . V^?^^ V^f^î • • • ^^^*' entièrement déterminées, en fonction rationnelle de a et de v^?^? par les formules de multiplication. Ce système a, 6, c, ..., y/fa, \/'fby y/cpc, ..., ^ étant donné, a ainsi n — i déterminations distinctes, tenant au choix

de û et à celui du signe devant y/'cpa.

Dans le cas n = ^n^ — i , si l'on se donne a priori \e signe de

^/X, on fixe, par là même, le signe de \^'f <^, et le système n'a plus

que ^(n — i) déterminations. Se donner ainsi le signe de y/X,

c'est ce qu'on appelle s^ adjoindre l'irrationnelle y/X : par cette adjonction le nombre des valeurs du système est réduit de moitié. Dans le cas n = ^n'-\-i^ une réduction analogue s'obtient aussi, mais différemment. Reprenons l'égalité (96) en observant que j(/i — i) est alors pair, pour en conclure

G désignant encore une fonction rationnelle etXla fonction (97). Permutant les lettres, on a yy 6, ..., y/f /? — V^?^ ^^ ^^^^ ^^ ^/opa; . . . , y/f /• On en conclut

Si Von se âonnc a prior île signe de \'X.^ une quelconque des racines ne peut plus être prise pour a : le choix ne porte plus que sur la moitié de ces racines, celles pour qui la fonction G est

égale à v^X, tandis que les autres donnent, pour G, la valeur

— y/X. Il y a donc à choisir seulement {-{n — i) valeurs pour a-,

le signe de \'fa est ensuite ad libitum. Ainsi, dans le cas

n = j\n' -\- I , le nombre des valeurs du système a, 6, . . . , y^cja,

y/'^6, . .. est réduit de moitié par l'adjonction de la même irrationnelle que dans le cas n = /\n' — i. Mais, dans un cas, la

réduction porte sur les valeurs de v'?^> s/'f ^î ••• > dans l'autre, sur celles de a, ^, c, . . . .

Nous abordons maintenant Pétude de la manière suivant laquelle, deux racines x et Xq de la résolvante étant données, les autres s'en déduisent. Nous supposerons, pour le raisonnement, les arguments de a, 6, c, . . . choisis, dans tous les cas, comme il a été dit pour le cas /?=4^' — i? c'est-à-dire en progression arithmétique de raison — r, /' étant une racine primitive de n. C'est pour l'uniformité que nous adoptons ce choix; car, au cas n--/\n^-hi^ la raison r ou la raison — r reviennent au même, puisqu'alors — r est racine primitive comme r.

Les deux systèmes a, b^ . . . , \/''fci^ \/^b, ... etao, 6oi • • • ^ y/'f ^o?

y/cp6o,... ont chacun (n — i) déterminations; nous choisissons l'une d'elles et, par les formules d'addition, nous composons les systèmes analogues, correspondant aux autres racines. En dési-

gnant par — 1 argument de a et y/îûa, par — celui de Uq et y cpaoi nous définissons a^, et \/''fci^ par l'argument %v^y

Tous les autres arguments se déduisent de là suivant la loi qu'on vient de rappeler. De cette manière, on trouve «i , ô^ , c^ , ...

^ oUi , V <f 6< , V'f ^i j • • • exactement par les mêmes formules (36, 38) que dans la division par -j. En additionnant «1,6^,^^,... on ob-

tient^i exprimé rationnellement par a^, b^, ... Œq, boj . . . \/^ci^ . . ., c'est-à-dire Xi exprimé explicitement en fonction de x et de Xq