CHAPITRE II. I l

par radicaux, puisqu'il en est ainsi de «< , 6| , .... Ainsi , en fonction de deux racines de r équation résolvante , on peut exprimer explicitement les autres racines par radicaux. Nous disons les autres; il est évident, eu effet, que Tambiguïté des systèmes a, 6, ... se reproduit dans l'expression de X\ , de manière à fournir toute autre racine x^ par la même formule : c'est l'examen de cette ambiguïté qui va précisément nous occuper.

On peut remplacer, dans tvjj., le nombre |jl par un autre, donnant le même reste que [jl dans la division par n. On peut admettre la même généralisation dans les indices de ^, a, 6, ... , mettre indifféremment, par exemple, les indices — i , — 2, ... au lieu de n — i , n — 2. C'est ce que nous ferons.

A l'égard de la permutation remplaçant <2, 6, ... par 6, c, . . . ,

on peut réunir les deux cas n--^nzïii^en disant que y/cpa, . . . ,

Y/'cp6 sont remplacés par y/^6, . . ., et ( — 1)^ Vf ^- ^' ^'^^ ^^^'' cette substitution dans les équations (36, 38), les arguments qui

répondent à a^ et \/cf a, , à 6^ et \/'ob\ , . . . , sont successivement

Il n n

c'est-à-dire tv.r, — rw ri r'W r, .... Le dernier enfin est égal à

Mais on a

(r)5"-"^(,f"-" (mod«),

en sorte que ce dernier argument est égal, sauf une période, à

Ainsi, en permutant une fois le système a^ b, . . . , on obtient, par les formules, a r-, b r', ... au lieu de a<, 6^, .... En permutant plusieurs fois le même système, on obtient des systèmes ci^-i fr|x? • • -7 toujours dans Tordre a, b, . . ., avec les valeurs i,

— r, /••^, . . . ( — rY de l'indice [jl. Si, dans toutes ces fornuiles, III. 8

Il4 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

on change les signes de y(j>a, y^^, . . . , on obtient, encore dans Tordre a, 6, . . . , les zi(n — i) autres systèmes correspondant aux autres valeurs de l'indice [jl. Tons les systèmes a^^ b^,^ . . sont ainsi obtenus par la seule permutation du système a, è, ....

La permutation du système «o? ^o? • • • remplace, de même, l'argument w^ par

en sorte que les formules (36) donnent, au lieu de ai, la quan-

tité b avec l'indice /-^ , et, avec ce même indice, c au lieu de &4, .... Une seconde permutation donne, avec l'indice r"~^, c au lieu de «4, .... Si maintenant on ajoute «<, 6^, ... pour former Xx^ voici les résultats : la permutation du système a, è, ... a pour effet de multiplier l'indice x^ par — r; celle du système a^, 6o? • • •

a pour effet de multiplier cet indice par r* . En outre, le changement du signe .de y ça, Vf ^j • • • » ^" ^^ V^'f^o r V^T^o ? • • • se traduit aussi par un changement de signe pour l'indice de x^. On peut exprimer les mêmes conclusions en termes plus frappants, comme il suit : La permutation du système a, b^ , . , multiplie r indice par — r; celle du système «oi boi • • • multiplie l^ indice

par •: le changement du signe de \/''fa^ . . ., ou desj^a^^

multiplie V indice par — i . Il est, en effet, convenu que la notation des congruences s'étend aux fractions, en sorte que l'on peut écrire indifféremment

7*2 ^ — 1 OU r^ ^ (modn).

Si avec x on s'adjoint y^X, on peut, au cas /i = 4'*' — "? permuter le système a^ b^ . . , ^ mais non changer les signes de.y/coa,

Il reste donc seulement les substitutions dans lesquelles les indices [JL sont multipliés par i, — r, r^, . . .. Ces derniers sont les

résidus quadratiques de n. Mais les puissances de ; sont ces

mêmes résidus. Ainsi, au cas n^= ^n' — i, si l'on s'adjoint y/X et