CHAPITRE II. II

\/Xo 7 il reste seulement les substitutions qui multiplient les indices par un résidu quadratique. On parvient évidemment au même

résultat en s'adjoignant seulement le produit \/Xy/^Xo : ceci résulte

des formules mêmes, où chaque quantité sjoa apparaît toujours

multipliée par une analogue y/'f «o» 0^^ peut le reconnaître aussi comme il suit : soit £ = i ou £ r= — i suivant qu'on change, ou

non, les signes de \J^a^ .... Un changement dans le système tz, 6, . . . a pour effet de multiplier l'indice par ( — r)^£. Un changement dans le système «o, ^o? • • • multiplie ce même indice par

( — - j £. La quantité ambiguës est la même, de part et d'autre,

puisque le signe de y X y/Xo doit rester invariable. Dans la multiplication, qui résulte de là, s disparaît donc.

Au cas a^= ^n! -\- i, l'adjonction de y/X laisse subsister seulement la permutation où a, fe, c, d^ e,/est remplacé par c, rf, e, y, . . . , et celles qui en dérivent; à quoi il faut joindre le changement des signes de y' 'fa, .... Il reste donc la multiplication de l'indice par r-, par — ;•-, et par leurs puissances. Ici encore, ces nombres et leurs inverses sont les résidus quadratiques de n, et la conclusion est, de tout point, la même que dans le cas précédent.

Nous allons voir maintenant l'expression définitive et extrêmement simple de cette irrationnelle adjointe y XXq. Considérons les racines x^^ à l'exception de x et de ^Tq, et prenons leurs différences deux à deux. Soit (jjl, v)=: ^r^^ — ^v une de ces différences. Si [JL -|- V n'est pas congru à zéro, nous pouvons grouper ensemble les quatre^différences ([jl, v), ( — [Ji, — v), ([jl, — v), ( — [jl, v). Nous avons des groupes A de quatre différences; le nombre de ces groupes A est | (/i — i)(/i — 3). En outre, nous avons ^(/i — i) différences B, de la forme (jjl, — jjl).

Chacune des substitutions que nous avons à considérer s'effectue en multipliant les indices par un même nombre. Dans ces substitutions, la distinction des différences, sous les noms A et B, est respectée. Un groupe A se change en un autre groupe A', une différence B en une autre différence B'.

Le produit de toutes les différences constituant les groupes A demeure invariable par toutes les substitutions considérées, sans

adjonction de y/X ni de y/Xo. C'est dire que les formules font

Il6 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

apparaître ce produit comme contenant a, 6, . . . , ciq^ Ôq, . . - sous la forme rationnelle seulement, et de telle sorte que ce produit reste invariable par les permutations circulaires de a, è, . . . et de <2oî 60? • • •• Il suffit d'ailleurs de se reporter aux formules pour vérifier Texactitude de ce fait. Ce produit peut donc s'exprimer sous la forme F(a, ao), où F est une fonction rationnelle; mais on peut, indifféremment aussi, remplacer, séparément, a et Oq par b^ Cj . . > ou boy Co, .... C'est donc une fonction symétrique, séparément, de a^bjC^...^ ainsi que de «o? ^o? ^o? • • • ? etj P^^ suite, une fonction rationnelle de x et de Xq.

Le produit des différences B n'a pas la même propriété. On a, par exemple,