CHAPITRE II

nier facteur se change en (i, — 1), tandis que chacun des autres

se change en celui qui le suit. Le même fait a lieu pour y/X, comme on l'a vu par les équations (99). Le produit considéré est

donc égal à yX multiplié par une fonction de a, .6, . . ., inaltérable dans toutes les substitutions envisagées. 11 est de même le

produit de y/Xo par une pareille fonction de «<>, 607 • • •• Donc enfin , dans les deux cas n = i n'± i , le produit des différences B

est égal à v/XXq multiplié par une fonction rationnelle de x et de ^Oî ^^i pctr suite, il en est autant du produit de toutes les différences A.et^, Soit ^[x) le premier membre de la résolvante en x. En multi-

pliant le produit précèdent par > on obtient le produit de

toutes les différences des racines x^ ^o? • • • -. ^u.i prises deux à deux. C'est la racine carrée du discriminant de la résolvante. Or on a vu

quecetteracinecarréeestrationnelle,sauf le facteur y ( — i)^ n.

En conséquence, y/XXo est le produit d^une fonction rationnelle de gît gz't x^ Xç^^ à coefficients entiers, par la seule irra-

tionnelle \ ( — 1)* /^.

Les résultats qu'on vient d'établir permettent de reconnaître rapidement si une fonction donnée de x^^ x^, . . . peut être exprimée rationnellement en x et Xq, Cherchons, par exemple, à accoupler les indices, de telle sorte que la combinaison

(100) XçiX^-\~ X^fX^-^, , .

puisse s'exprimer ainsi. En multipliant tous les indices par un même résidu quadratique, on devra reproduire les mêmes couples, dans un ordre d'ailleurs quelconque. Il faut donc, en premier lieu, que l'on ait

(3 ^ pa, 8 ^ pY, . . . (mod/i);

en d'autres termes, que le rapport des indices, dans chaque couple, soit constant. Si le rapport constant p est résidu, a et pa sont, en même temps, tous deux résidus ou tous deux non-résidus. Chaque couple est alors composé de deux résidus ou de deux non-résidus. Ceci n*est possible que dans le cas où n a la forme ^n' -\-ij puisque

Il8 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

le nombre des résidus, égal à -*- (/i — i), doit aussi être pair. Soit h le plus petit exposant positif donnant p^ i^ i (mod/i). On aura nécessairement les couples d'indices

(I,p), {^,^^\ (p2,p3^ ..., (pA-2,p/.-l), (pA-1,,);

d'où la condition p ^ p^~*, c'est-à-dire p^ ^ i et, par conséquent, p ^iE — I. La seule combinaison possible est donc

(loi) X^X-x-\- XftX-%-\-,, .,

qui reste inaltérée quand on multiplie tous les indices par ua nombre quelconque, résidu ou non. C'est donc une fonction rationnelle de X et de ^oj cle^2 et de ^3, à coefficients entiers, sans

adjonction dey//2. Nous l'avons considérée déjà au cas /i = 5. Elle a évidemment la même propriété quand /i a la forme ^n^ — i ; mais — I est alors un non-résidu, et elle rentre dans la catégorie qui reste à examiner, celle où p est non-résidu.

Ce second cas n'offre aucune difficulté. On prendra tous les résidus a, a', a'', .... A chacun d'eux on adjoindra son produit par p, formant ainsi tous les non-résidus. Les ^ (/i — i) couples, obtenus de la sorte, constituent, pour chaque p, un ensemble unique, satisfaisant aux conditions requises. Si, en effet, on multiplie tous les a par un même résidu m, on reproduit les a dans un autre ordre. Chaque couple (a, pa) se change alors en un des autres (a', pa'). On a donc bien une fonction rationnelle de x^ ;ro, ^2» ^3 ^t de

y/ dt a. L'adjonction de cette irrationnelle est indispensable. Si, en effet, on change le signe de cette irrationnelle, il faut, en même temps, multiplier tous les indices par un non-résidu /n'. Dans cette multiplication, m'a est non-résidu et m'pa est résidu. Soit donc

m'pa=p. Le couple (a, pa) se change en celui-ci (P, -fij, de

même définition, mais répondant, non plus à 0, mais à -. Ainsi,

avec chaque non-résidu p, on peut former une combinaison unique (100), qui soit une fonction rationnelle de x^ .Tq, gi^ gvi \ les coefficients de cette fonction sont des nombres entiers, sauf

r irrationnelle \ n( — i)^ . La combinaison semblable, for-