CHAPITRE II. I

mée avec -> se déduit de la précédente par le changement du

signe de cette unique irrationnelle.

Pour avancer encore dans l'étude de ces fonctions, examinons ce qu'elles deviennent si Ton y échange x et Xo. Parmi les changements d'indice qui correspondent à cet échange, figure celui de

chaque indice en son inverse. En eflfet, l'échange de a et y/'^a avec ÛQ et v'«p«o remplace

'liiù' -^ IJLtO ) Wu = ■

par.

2 ( UW -h (0 ) ' \ UL

^ =: '■ — ILW\ .

'' '^ il

En considérant toutes les substitutions qui peuvent être faites sans échanger x et Xq^ on voit que, de la manière la plus générale,

l'échange de x et de Xq se traduit par le changement de [jl en - ? v

étant un nombre indépendant de [jl.

Il importe de savoir si, dans ces échanges, le signe de l'irrationnelle adjointe doit être conservé ou changé. Examinons cette

question pour le changement de [ji en -• Considérons, de nouveau,

pour ce but, les produits de différences, comme nous l'avons fait précédemment (p. 1 15). Parmi les groupes A, on peut distinguer ceux où Ton a jjiv ^ 1 ; le produit des quatre différences d'un tel groupe reste inaltéré par le changement de chaque indice en son inverse. A chaque autre groupe A, on peut adjoindre celui qui lui correspond par les conditions [^[Jt-'^ i, vv^e:^ i. On voit donc que le produit de toutes les différences A reste inaltéré. Parmi les différences B, on peut également adjoindre à ([jl, — jjl) cette autre

> et le produit en reste inaltéré. La différence (f, — i)

fait exception, mais elle reste inaltérée elle-même. Enfin, s'il existe un nombre y. satisfaisant à la condition [^^^^ — i (mod /i), la différence (jjl, — [jl) se reproduit, changée de signe. Ceci arrive si /ï a la forme ^n' -{-i, et dans ce cas seulement. Le produit des

différences A et B se multiplie donc par ( — 1)^ .Or nous

avons vu que ce produit, multiplié par^ — Xq et par une fonction

symétrique de x et de ^o? est égal à l'irrationnelle considérée. Comme x — ^o^ dans la substitution, échange son signe, on peut conclure ainsi : quand, échangeant x et x^^ on remplace chaque indice par son inverse, on doit, en même temps, miilti-

plier l irrationnelle \ n{ — ly par { — i/

Considérons la fonction (loo), formée avec le non-résidu p, nous avons

La fonction analogue, formée avec-> a l'expression conjuguée

XdXoi -T- a7yJ7y H- . . . = ^{Xj Xq) X(^' ^o)^'

Prenons les inverses - et — des indices accouplés dans la pre-

a pa ^ '^

mière combinaison. Comme - est résidu ainsi que a, le couple

est un de ceux qui se présentent dans la seconde combinaison. On passe donc ainsi de la première à la seconde par le changement de l'indice en son inverse. Ce changement, on vient de le voir, doit être accompagné de l'échange de x et Xf^ et de la multiplication de 6 par ( — i)^ . On a donc

d'où résulte, les fonctions 4* ^^ X étant rationnelles, à coefficients entiers,

'^{x, Xq)^ '^{xo, x), i{x, a7o) = ( — i)*^ x(^o, ^)-

En conséquence, if est symétrique en x et Xq \ y^ est symétrique aussi, sauf, dans le cas /i = 4/^'+ i? le facteur x — Xq.

Exemples, — Nous mettons, pour abréger, une seule lettre f, ♦|, . . . qui représentera une fonction rationnelle de x^ Xq-, g^^ gzy à coefficients entiers, et symétrique en x, Xq.

\a pa/